计算图（Computation Graph）

可以说，一个神经网络的计算，都是按照前向或反向传播过程组织的。

首先我们计算出一个新的网络的输出（前向过程），紧接着进行一个反向传输操作。

后者我们用来计算出对应的梯度或导数。计算图解释了为什么我们用这种方式组织这些计算过程。在这篇笔记中中，我们将举一个例子说明计算图是什么。让我们举一个比逻辑回归更加简单的，或者说不那么正式的神经网络的例子。

我们尝试计算函数J，J是由三个变量a,b,c组成的函数，这个函数是3(a+bc) 。计算这个函数实际上有三个不同的步骤，首先是计算 b 乘以 c，我们把它储存在变量u中，因此u=bc； 然后计算v=a+u；最后输出J=3v，这就是要计算的函数J。

我们可以把这三步画成如下的计算图，我先在这画三个变量a,b,c，第一步就是计算u=bc，我在这周围放个矩形框，它的输入是b,c，接着第二步v=a+u，最后一步J=3v。

举个例子: a=5,b=3,c=2 ，u=bc就是6，就是5+6=11。J是3倍的 ，因此。即3×(5+3×2)。如果你把它算出来，实际上得到33就是J的值。 当有不同的或者一些特殊的输出变量时，例如本例中的J和逻辑回归中你想优化的代价函数J，因此计算图用来处理这些计算会很方便。从这个小例子中我们可以看出，通过一个从左向右的过程，你可以计算出J的值。为了计算导数，从右到左（红色箭头，和蓝色箭头的过程相反）的过程是用于计算导数最自然的方式。

概括一下：计算图组织计算的形式是用蓝色箭头从左到右的计算，让我们看看如何进行反向红色箭头(也就是从右到左)的导数计算

计算图的导数计算（Derivatives with a Computation Graph）

在上一个视频中，我们看了一个例子使用流程计算图来计算函数J。现在我们清理一下流程图的描述，看看你如何利用它计算出函数J的导数。

下面用到的公式：

这是一个流程图：

假设你要计算dJ/dv，那要怎么算呢？

好，比如说，我们要把这个v值拿过来，改变一下，那么J的值会怎么变呢？

所以定义上J=3v，现在v=11，所以如果你让v增加一点点，比如到11.001，那么J=3v=33.003，所以我这里v增加了0.001，然后最终结果是J上升到原来的3倍，所以dJ/dv=3，因为对于任何 v 的增量J都会有3倍增量，而且这类似于我们在上一个视频中的例子，我们有f(a)=3a，然后我们推导出(df(a))/da=3，所以这里我们有J=3v，所以dJ/dv=3，这里J扮演了f的角色，在之前的视频里的例子。

在反向传播算法中的术语，我们看到，如果你想计算最后输出变量的导数，使用你最关心的变量对v的导数，那么我们就做完了一步反向传播，在这个流程图中是一个反向步。

我们来看另一个例子，dJ/da是多少呢？换句话说，如果我们提高a的数值，对J的数值有什么影响？

好，我们看看这个例子。变量a=5，我们让它增加到5.001，那么对v的影响就是a+u,之前v=11，现在变成11.001，我们从上面看到现在J就变成33.003了，所以我们看到的是，如果你让a增加0.001，J增加0.003。那么增加a，我是说如果你把这个5换成某个新值，那么a的改变量就会传播到流程图的最右，所以J最后是33.003。所以J的增量是3乘以a的增量，意味着这个导数是3。

要解释这个计算过程，其中一种方式是：如果你改变了a，那么也会改变v，通过改变v，也会改变J，所以J值的净变化量，当你提升这个值（0.001），当你把a值提高一点点，这就是J的变化量（0.003）。

首先a增加了，v也会增加，v增加多少呢？这取决于dv/da，然后v的变化导致J也在增加，所以这在微积分里实际上叫链式法则，如果a影响到v，v影响到J，那么当你让a变大时，J的变化量就是当你改变a时，v的变化量乘以改变v时J的变化量，在微积分里这叫链式法则（重点概念，记住）。

我们从这个计算中看到，如果你让a增加0.001，v也会变化相同的大小，所以dv/da=1。事实上，如果你代入进去，我们之前算过dJ/dv=3，dv/da=1，所以这个乘积3×1，实际上就给出了正确答案，dJ/da=3。

这张小图表示了如何计算，dJ/dv就是J对变量v的导数，它可以帮助你计算dJ/da，所以这是另一步反向传播计算。

现在我想介绍一个新的符号约定，当你编程实现反向传播时，通常会有一个最终输出值是你要关心的，最终的输出变量，你真正想要关心或者说优化的。在这种情况下最终的输出变量是J，就是流程图里最后一个符号，所以有很多计算尝试计算输出变量的导数，所以输出变量对某个变量的导数，我们就用dvar命名，所以在很多计算中你需要计算最终输出结果的导数，在这个例子里是J，还有各种中间变量，比如a、b、c、u、v。

当你在软件里实现的时候，变量名叫什么？

你可以做的一件事是，在python中，你可以写一个很长的变量名，比如dFinalOutputvar_dvar，但这个变量名有点长，我们就用dJ_dvar，但因为你一直对dJ求导，对这个最终输出变量求导。我这里要介绍一个新符号，在程序里，当你编程的时候，在代码里，我们就使用变量名dvar，来表示那个量。

好，所以在程序里是dvar表示导数，你关心的最终变量J的导数，有时最后是L，对代码中各种中间量的导数，所以代码里这个东西，你用dv表示这个值，所以dv=3，你的代码表示就是da=3。

好，所以我们通过这个流程图完成部分的后向传播算法。我们在下一张幻灯片看看这个例子剩下的部分。

我们清理出一张新的流程图，我们回顾一下，到目前为止，我们一直在往回传播，并计算dv=3，再次，dv是代码里的变量名，其真正的定义是dJ/dv。我发现da=3，再次，da是代码里的变量名，其实代表dJ/da的值。

大概手算了一下，两条直线怎么计算反向传播。

好，我们继续计算导数，我们看看这个值u，那么dJ/du是多少呢？通过和之前类似的计算，现在我们从u=6出发，如果你令u增加到6.001，那么v之前是11，现在变成11.001了，J 就从33变成33.003，所以J 增量是3倍，所以dJ/du=3。对u的分析很类似对a的分析，实际上这计算起来就是dJ/dv⋅dv/du，有了这个，我们可以算出dJ/dv=3，dv/du=1，最终算出结果是3×1=3。

所以我们还有一步反向传播，我们最终计算出du=3，这里的du当然了，就是dJ/du。

现在，我们仔细看看最后一个例子，那么dJ/db呢？想象一下，如果你改变了b的值，你想要然后变化一点，让J值到达最大或最小，那么导数是什么呢？这个J函数的斜率，当你稍微改变b值之后。事实上，使用微积分链式法则，这可以写成两者的乘积，就是dJ/du⋅du/db，理由是，如果你改变b一点点，所以b变化比如说3.001，它影响J的方式是，首先会影响u，它对u的影响有多大？好，u的定义是b⋅c，所以b=3时这是6，现在就变成6.002了，对吧，因为在我们的例子中c=2，所以这告诉我们du/db=2当你让b增加0.001时，u就增加两倍。所以du/db=2，现在我想u的增加量已经是b的两倍，那么dJ/du是多少呢？我们已经弄清楚了，这等于3，所以让这两部分相乘，我们发现dJ/db=6。

好，这就是第二部分的推导，其中我们想知道 u 增加0.002，会对J有什么影响。实际上dJ/du=3，这告诉我们u增加0.002之后，J上升了3倍，那么J应该上升0.006，对吧。这可以从dJ/du=3推导出来。

如果你仔细看看这些数学内容，你会发现，如果b变成3.001，那么u就变成6.002，v变成11.002，然后J=3v=33.006，对吧？这就是如何得到dJ/db=6。

为了填进去，如果我们反向走的话，db=6，而db其实是Python代码中的变量名，表示dJ/db。

我不会很详细地介绍最后一个例子，但事实上，如果你计算dJ/dc=dJ/du⋅du/dc=3×3，这个结果是9。

我不会详细说明这个例子，在最后一步，我们可以推出dc=9。

所以这个知识的要点是，对于那个例子，当计算所有这些导数时，最有效率的办法是从右到左计算，跟着这个红色箭头走。特别是当我们第一次计算对v的导数时，之后在计算对a导数就可以用到。然后对u的导数，比如说这个项和这里这个项：

可以帮助计算对b的导数，然后对c的导数。

所以这是一个计算流程图，就是正向或者说从左到右的计算来计算成本函数J，你可能需要优化的函数，然后反向从右到左计算导数。如果你不熟悉微积分或链式法则，我知道这里有些细节讲的很快，但如果你没有跟上所有细节，也不用怕。在下一个视频中，我会再过一遍。在逻辑回归的背景下过一遍，并给你介绍需要做什么才能编写代码，实现逻辑回归模型中的导数计算。