2007年理科数学海南卷题18
18.（本小题满分12 分）
如图，在三棱锥 中，侧面
与侧面
均为等边三角形，
，
为
的中点.
（Ⅰ）证明∶ 平面
;
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
2007年理科数学海南卷题18
【解答第1问】
连接 .
∵ ， ∴
.
∵ 与
均为等边三角形，∴
是等腰三角形;
而 , ∴
∵ ,
, ∴
∴
又∵ , ∴
, ∴
∵ , ∴
平面
;
【解答第2问】
∵ , ∴
平面
.
在平面
内的投影为
∴ 二面角 的余弦值为：
【提炼与提高】
求二面角可以用几何法，也可以用向量法。
用几何法解答本题，简洁明了效率高。如果用向量法也是可以的，但计算量比较大。读者可以自行对比。
注意本题中的三角形。
等边三角形： ,
等腰直角三角形：
由一个等边三角形和三个等腰直角三角形构成的四面体，是一个常用模型。在本题中， 都是这样的四面体。
这一常用四面体在高考题中多次出现。一定要高度重视。
第1问的解答中，是把立体几何的知识与平面几何结合起来；把空间问题转化为平面上的问题来解决。这也是立体几何中一种基本的方法。
【相关考题】
本题与以下考题是“姊妹题”。请读者自行体会。
2009年文科数学海南卷题18
