【科普】量子计算通识-4-量子位

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以下内容参照微软研究院主题演讲《Quantum Computing for Computer Scientists（计算机科学家量子计算导读）》的结构进行整理和扩充的。
本篇是第四部分。上一篇【科普】量子计算通识-3

经典位cbit

经典比特位Classic bit，简称cbit。
经典位只有0或1两种状态。无论我们使用什么含义，0或1，真或假，开或关，阴或阳...即使我们前几篇文章中使用的向量(1,0)(0,1)，也都是经典位，因为它只有两种状态，没有半阴半阳状态。

$0or1\qquad TRUE or FALSE\qquad ON or OFF \qquad \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}or\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\qquad...$

量子位qbit

量子位Quantum bit，简称qbit。
量子位只能用二元向量的形式表示，它的定义如下：
$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\qquad 并满足\qquad||a||^2+||b||^2=1$

这里的a和b可以是复数（实数和虚数），为了简单，我们只讨论它们是实数的情况。

从这里可以看出，a和b都是0到1或0到-1之间的数字。下面是几个较为常见的量子位：
$\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}sin(\frac{\pi}{4})\\cos(\frac{\pi}{4})\end{pmatrix}\quad ...$

量子坍塌Collapse和量子叠加Superposition

经典位是量子位的一种特殊情况。

在我们熟悉的宏观现实中，只能把足球踢入一个球门，即使对面有两个球门，我们起脚的一刻就已经决定了球只能飞往其中一个。

而在双缝实验中，我们向两条缝发出一个光子，但无法知道它将要飞往哪一条缝，实际上它会像水波一样同时穿过两条缝隙并产生自我干涉。

除非我们在缝隙处安装检测装置进行观测，但结果是在某条缝隙上要么观测到光子通过，要么观测不到，而不可能观测到半个光子通过。

我们的观测行为导致不确定性的光子变为确定性，把可能左可能右变为确定通过某一条特定缝隙。

如果我们把两条缝隙视为0或1，那么在测量之前就是不确定的，有50%可能穿过左边缝隙，也有50%可能穿过右边缝隙，这种状态我们就说它处于叠加态Superposition。

我们的测量导致叠加态的不确定性变为确定的现实，这个过程叫做量子坍缩Collapse，就是变为0或1的确定现实。

更多内容看参考这两个文章【双缝实验】和【薛定谔猫和维格纳的朋友】

测量Measure

测量将导致量子坍塌，将不确定性变为确定。
对于量子比特来说就是求每项的平方值：
$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad (||a||^2, ||b||^2)$

这里的 $||a||^2$ 表示它有多大可能性(Probability)是0，或者说有多大可能穿过左边的缝隙;同样 $||b||^2$ 表示它有多大可能性是1，或者说有多大可能性穿过右边的缝隙。

$||a||^2+||b||^2$ 一定是1，仍然遵循量子位qbit的定义，从概率上我们也能解释，那就是所有可能之和一定是100%，不管有多大概率穿过左边或者右边，概率之和一定是100%，不可能有其他情况。

简单记忆就是，上面一项的平方表示0的可能性，下面一项的平方表示1的可能性。 因为(0,1)有 $||1^2||$ 即100%的可能性是1，0%的可能性是0，所以(0,1)是确定的1，而(1,0)是确定的0：

$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Rightarrow Measure\Rightarrow0$
$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\Rightarrow Measure\Rightarrow1$

从这里我们也可以看到向量表示的经典比特也是一种特殊的量子比特。

在量子计算中，更多情况的量子比特测量之后并不能确定成为0或1，而是仍然处于概率性的纠缠状态，比如：

$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\Rightarrow Measure \Rightarrow(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

这表示仍然有50%的概率是0，50%的概率是1，仍然是不确定性的,对于一个均匀硬币来说，这里面没有包含有效的信息。但下面的情况就有所不同，它表明了这是一个作弊的硬币：
$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\Rightarrow Measure\Rightarrow(\frac{1}{4},\frac{3}{4})$

多比特纠缠态

多比特的定义仍然遵循张量积Tensor Product算法：
$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ac\\ad\\bc\\bd\end{pmatrix}$
注意，仍然满足各项平方和是1的规则，即：

$||ac||^2+||ad||^2+||bc||^2+||bd||^2=1$

这就好像我们向双缝发射了两个光子，那么它们穿过双缝就有四种可能情况，【左左，左右，右左，右右】，而最终这四种情况的可能性之和一定是100%。例如：
$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$

所以它有25%可能坍塌到|00>，也有25%可能坍塌到|01>，也有25%可能坍塌到|10>，也有25%可能坍塌到|11>。

量子位操作

在现实中，能否在不进行测量的前提下对量子进行操作？答案是肯定的。
科学家们可以利用一些透镜或者仪器对飞行中处于纠缠态的量子进行操作，而且操作之后量子仍然处于纠缠态。这其实是量子计算机的科学实验基础。

在量子计算中，我们也可以利用矩阵数学算法对纠缠态的量子比特进行计算，比如前两篇文章介绍过的各项翻转或CNOT门操作。这和现实中科学家所做的实验是一致的。

$\begin{pmatrix}0,1\\1,0\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

实际上有很多量子计算的重要操作都是在叠加态状态下进行的，我们只在最后一步的时候才会进行求平方的测量操作，以尝试获取坍塌后的确定值。

下一篇我们将介绍量子计算中另外一个重要的操作Hadamard门。

下一篇：【科普】量子计算通识-5

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