2018-11-08

author: zhangyifeng
title: some background need for ml(还会更新)

Matrix

notation

$\boldsymbol \alpha \in \mathbb{R}^{n}$

$\boldsymbol x \in \mathbb{R}^{n}$

$A\in \mathbb{R}^{m\times n}$

$(A)_{ij}=a_{ij}$

$A^{T}$ : transpose of $A$

$tr(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$

$det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}par(\sigma)a_{1\sigma_{1}}a_{2\sigma_{2}}\dots_{1\sigma_{n}}$ ,
where $S_{n}$ is all set of $n-order$ permutation. par( $\sigma$ ) can be
-1 or +1.
also,
$det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ki}A_{ki} (k=1,2,\dots,n)=\sum_{j=1}^{n}a_{jl}A_{jl} (l=1,2,\dots,n)$

Frobenius norm of $A$ :
$\|A\|_{F}=(tr(A^{T}A))^{1/2}=(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}^{2})^{1/2}$
it can be regarded as $L_{2}$ norm when metrix was extended to vectors

函数空间的集合表示：如果 $X,Y$ 是集合，则令 $Y^{X}$ 表示所有从 $X$ 到 $Y$ 的函数的集合。这里， $Y^{X}$ 是有限笛卡尔积(Cartesian power) $Y^{n}$ 的推广。例如， $Y^{n}$ 可定义为所有从 $\{1,\dots,n\}$ 到 $Y$ 的函数集合 $Y^{\{1,\dots,n\}}$ ，更多内容可参看：http://faculty.bard.edu/belk/math351/FunctionSpaces.pdf

Basic calculate

$tr(AB)=tr(BA)$

$tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$

误差

测量误差主要分为系统误差和偶然误差

系统误差成规律性分布，有明显的倾向性，如仪器本身的误差，人的误差，不服从正态分布。

偶然误差（又称随机误差）成正态分布，可能是观测的误差。

common distribution

gamma distribution

gamma function {#gamma-function .unnumbered}

$\Gamma(a)=\int_{0}^{\infty}x^{a-1}\exp^{-x}dx$ , where $a>0$

Matrix Differentiation

Matrix Differentiation-from functional analysis points

假设 $X$ 和 $Y$ 为赋范向量空间， $F: X\rightarrow Y$ 是一个映射，那么 $F$ 在 $x_0 \in X$ 可导的意思是说存在一个有界线性算子 $L \in \mathcal{L}(X, Y)$ ，使得对于任意的 $\epsilon > 0$ 都存在 $\delta > 0$ ，对于满足 $x \in X \backslash \{x_0\}, \|x - x_0\| < \delta$ 的 $x$ 都有 $\frac{\|F(x) - F(x_0) - L(x - x_0)\|}{\|x - x_0\|} < \epsilon$ .我们称 $L(\|x - x_0\|)$ 为 $F$ 在 $x_0$ 点的微分。

以上定义有一个等价的表述，往往计算起来更方便：对于距离 $x_0$ 足够近的点 $x$ ，即
$\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{o(\|x-x_0\|)}{\|x-x_0\|} = 0$ ，
有 $F(x) = F(x_0) + L(x - x_0) + o(\|x - x_0\|)$ .
(注：此处 $L(x-x_0)$ 应该理解为线性算子 $L$ 在 $x - x_0$ 这个点的值，而不是 $L$ 乘以 $x-x_0$ 。不过在有限维空间所有线性算子都可以用矩阵表述， $L$ 在 $x - x_0$ ,这个值便正好可以表述为矩阵与向量的乘积(Riesz表示定理))

例子1：假设 $F(X) = X^TX$ 是一个 $\mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow \mathbb{ S}^n$ 的映射，其中 $\mathbb{S }^n$ 为 $n$ 维对称阵的空间。
$\begin{aligned} &F(X+\Delta X) - F(X) \\ =& (X+\Delta X)^T(X+\Delta X) - X^TX \\ =& X^T\Delta X + \Delta X^TX + o(\|\Delta X\|) \\ % =& 2X^T\Delta X + o(\|\Delta X\|) \end{aligned}$
所以我们有 $L(\Delta X) = 2X^T\Delta X$ ，这个就是 $F$ 在 $X$ 点的微分。

例子2：最小二乘问题 $f(x) = \frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2，f$ 是一个 $\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ 的映射。

$\begin{aligned} &f(x+\Delta x) - f(x) \\ =& \frac{1}{2}\|A(x+\Delta x) - b\|^2 - \frac{1}{2}\|Ax - b\|^2\\ =& \frac{1}{2}\|Ax - b + A\Delta x\|^2 - \frac{1}{2}\|Ax - b\|^2\\ =& (Ax - b)^TA\Delta x + o(\|\Delta x\|) \end{aligned}$

所以我们有 $L(\Delta x) = (Ax - b)^TA\Delta x$ ，这个就是 $f$ 在 $x$ 点的微分。在这种情况下， $L$ 这个有界线性算子(梯度)可以用矩阵来表述(Riesz表示定理)：
$L(\Delta x) = \langle \nabla f(x), \Delta x \rangle = (Ax-b)^TA\Delta x$ ，
所以梯度 $\nabla f(x) = A^T(Ax - b)$

总结：在有限维的情况下，我们可以先求 $F$ 的微分 $L(\Delta x)$ ，利用Riesz表示定理，得 $L(\Delta x) = \langle f^{'}(x) , \Delta x \rangle$ ，可求得对应的gradient
vector或者jacobi矩阵 $f^{'}(x)$ ，也就是导数，显然，
这里可以看出，导数和微分差一个转置。

标量 $f$ 对矩阵 $X$ 的导数

核心思想 {#核心思想 .unnumbered}

函数的微分 = 函数的导数和自变量的微分的内积
$= \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$

矩阵微分运算法则

加减法： $d(X\pm Y) = dX \pm dY$

矩阵乘法： $d(XY) = (dX)Y + X dY$

转置： $d(X^T) = (dX)^T$

迹： $d\text{tr}(X) = \text{tr}(dX)$

逆： $dX^{-1} = -X^{-1}dX X^{-1}$ 。此式可在 $XX^{-1}=I$ 两侧求微分来证明

行列式： $d|X| = \text{tr}(X^{\#}dX)$
，其中 $X^{\#}$ 表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作 $d|X|= |X|\text{tr}(X^{-1}dX)$ 。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页

逐元素乘法： $d(X\odot Y) = dX\odot Y + X\odot dY，\odot$ 表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘

逐元素函数： $d\sigma(X) = \sigma'(X)\odot dX$
， $\sigma(X) = \left[\sigma(X_{ij})\right]$ 是逐元素标量函数运算，
$\sigma'(X)=[\sigma'(X_{ij})]$ 是逐元素求导数。

举个例子， $X = \left[\begin{matrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix}\right], d \sin(X) = \left[\begin{matrix}\cos x_{11} dx_{11} & \cos x_{12} d x_{12}\\ \cos x_{21} d x_{21}& \cos x_{22} dx_{22} \end{matrix}\right] = \cos(X)\odot dX$ 。

迹技巧(trace trick)

标量套上迹： $a = \text{tr}(a)$

转置： ${tr}(A^T) = {tr}(A)$

线性： $\text{tr}(A\pm B) = \text{tr}(A)\pm \text{tr}(B)$

矩阵乘法交换： $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ ，其中 $A$ 与 $B^T$ 尺寸相同。两侧都等于 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}$

矩阵乘法/逐元素乘法交换： $\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)$ ，其中 $A$ ,
$B$ , $C$ 尺寸相同。两侧都等于 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}$

复合法则

假设已求得 $\frac{\partial f}{\partial Y}$ ，而 $Y$ 是 $X$ 的函数，如何求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 呢？在微积分中有标量求导的链式法则 $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}$ ，但这里我们不能沿用链式法则，因为矩阵对矩阵的导数 $\frac{\partial Y}{\partial X}$ 截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)$ ，再将 $dY$ 用 $dX$ 表示出来代入(这个是矩阵对矩阵的导数，在下一节我们会了解到)，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。

标量对矩阵的一般求导步骤

1.对标量函数 $f$ 两端作微分，利用微分运算法则化简

2.对两端作迹运算，利用迹运算法则化简，将 $dx$ 移到最右端

3.利用微分和矩阵的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ,求 $\frac{\partial f}{\partial X}$

一些例子

例1： $f = \boldsymbol{a}^T X\boldsymbol{b}$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $\boldsymbol{a}$ 是 $m×1$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩阵， $\boldsymbol{b}$ 是 $n×1$ 列向量， $f$ 是标量。

解：
1.作微分:这里的 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是常量， $d\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$ ,
$d\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$ ，得： $df = \boldsymbol{a}^T dX\boldsymbol{b}$

2.作迹运算： $df = \text{tr}(\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol{b}) = \text{tr}(\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^TdX)$ ，注意这里我们根据 $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)交换了\boldsymbol{a}^TdX与\boldsymbol{b}$

3.对照导数与微分的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，得到 $\frac{\partial f}{\partial X} = (\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^T)^T= \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$ 。
例2： $f = \boldsymbol{a}^T \exp(X\boldsymbol{b})$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $\boldsymbol{a}$ 是 $m×1$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩阵， $\boldsymbol{b}$ 是 $n×1$ 列向量， $exp$ 表示逐元素求指数， $f$ 是标量。

解：
1.作微分： $df = \boldsymbol{a}^T(\exp(X\boldsymbol{b})\odot (dX\boldsymbol{b}))$

2.作迹运算： $df = \text{tr}( \boldsymbol{a}^T(\exp(X\boldsymbol{b})\odot (dX\boldsymbol{b}))) =\text{tr}((\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^TdX \boldsymbol{b}) = \text{tr}(\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^TdX)$

3.对照导数与微分的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，得到 $\frac{\partial f}{\partial X} = (\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^T)^T= (\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))\boldsymbol{b}^T$ 。
例3【线性回归】： $l = \|X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y}\|^2$ ，
求 $\boldsymbol{w}$ 的最小二乘估计，即求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}$ 的零点。其中 $\boldsymbol{y}$ 是 $m×1$ 列向量， $X$ 是 $m\times n$ 矩阵， $\boldsymbol{w}$ 是 $n×1$ 列向量， $l$ 是标量。

解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例（此时可以省略第二步：作迹运算）。

先将向量模平方改写成向量与自身的内积： $l = (X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})^T(X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})$

1.求微分: $dl = (Xd\boldsymbol{w})^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})+(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^T(Xd\boldsymbol{w}) = 2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TXd\boldsymbol{w}$ 。

2.对照导数与微分的联系 $dl = \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}^Td\boldsymbol{w}$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}= (2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TX)^T = 2X^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})$ 。 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}$ 的零点即 $\boldsymbol{w}$ 的最小二乘估计为 $\boldsymbol{w} = (X^TX)^{-1}X^T\boldsymbol{y}$ 。
例4【方差的最大似然估计】：样本 $\boldsymbol{x}_1,\dots, \boldsymbol{x}_n\sim N(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$ ，求方差 $\Sigma$ 的最大似然估计。写成数学式是： $l = \log|\Sigma|+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ ，求 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}$ 的零点。其中 $\boldsymbol{x}_i$ 是 $m\times 1$ 列向量， $\overline{\boldsymbol{x}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \boldsymbol{x}_i$ 是样本均值， $\Sigma$ 是 $m\times m$ 对称正定矩阵， $l$ 是标量。

解：
1.作微分:第一项是 $d\log|\Sigma| = |\Sigma|^{-1}d|\Sigma| = \text{tr}(\Sigma^{-1}d\Sigma)$ ，第二项是 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^Td\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}) = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ 。

2.作迹运算： $\text{tr}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \text{tr}((\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1} d\Sigma \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}))= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\text{tr}\left(\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\right)$
$=\text{tr}(\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}d\Sigma)$
,定义 $S = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T$ 为样本方差矩阵。得到 $dl = \text{tr}\left(\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}\right)d\Sigma\right)$ 。

3.对照导数与微分的联系，有 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}=(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1})^T$ ，其零点即 $\Sigma$ 的最大似然估计为 $\Sigma = S$ 。

矩阵 $F$ 对矩阵 $X$ 的导数 {#矩阵f对矩阵x的导数 .unnumbered}

一般而言，标量就是 $1\times1$ 的矩阵，如果我们能推导出矩阵对矩阵的导数，标量对矩阵的导数不是自然的么，不应该可以统一进来么，那为啥还要大费周章地先写标量对矩阵的导数。原因是这两者不完全相同，并不能很简单地统一起来。

应该怎么定义矩阵对矩阵的导数。回答这个问题不是随意的，为了满足两个要求，我们对矩阵对矩阵的定义有严格的要求。我们的两个要求是：

1.矩阵 $F\in \mathbb{R}^{p \times q}$ 对矩阵 $X\in \mathbb{R}^{m \times n}$ 的导数应包含所有 $mnpq$ 个偏导数 $\frac{\partial F_{kl}}{\partial X_{ij}}$ ，从而不损失信息。

2.在标量对矩阵求导的地方，我们发现导数与微分有简明的联系。这里我们仍希望他们之间存在某种联系。

为此，我们先定义向量 $\boldsymbol{f}(p×1)$ 对向量 $\boldsymbol{x}(m×1)$ 的导数
$\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_m} & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}(m×p)$
此时，可以证明， $d\boldsymbol{f} = \sum\limits_{i,j}\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} dx_{j} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x}$ ,这个定义满足我们的两个要求，所以我们现在作好了了向量对向量的导数。

再定义矩阵的（按列优先）向量化：
${vec}(X) = [X_{11}, \ldots, X_{m1}, X_{12}, \ldots, X_{m2}, \ldots, X_{1n}, \ldots, X_{mn}]^T(mn×1)$
并定义矩阵F对矩阵X的导数 $\frac{\partial F}{\partial X}$ =
$\frac{\partial {vec}(F)}{\partial {vec}(X)}(mn×pq)$ 。
此时，可以证明，导数与微分有联系 ${vec}(dF)$ =
$\frac{\partial F}{\partial X}^T {vec}(dX)$ ，这样，我们作好了满足要求的矩阵关于矩阵的导数。

列向量化运算法则

1.线性： ${vec}(A+B) = {vec}(A) + {vec}(B)$ 。

2.[
矩阵乘法]{}： ${vec}(AXB) = (B^T \otimes A) {vec}(X)$ ，其中 $\otimes$ 表示Kronecker积， $A(m×n)与B(p×q)$ 的Kronecker积是 $A\otimes B = [A_{ij}B](mp×nq)$ 。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。

3.转置： ${vec}(A^T) = K_{mn}{vec}(A)$ ， $A$ 是 $m×n$ 矩阵，其中 $K_{mn}(mn×mn)$ 是换位矩阵(commutation
matrix)(就是一些初等换位矩阵的乘积)。

4.逐元素乘法： ${vec}(A\odot X) = {diag}(A){vec}(X)$ ，其中 ${diag}(A)(mn×mn)$ 是用 $A$ 的元素（按列优先）排成的对角阵。

一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式

1. $(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T$ 。

2. ${vec}(\boldsymbol{ab}^T) = \boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}$ 。

3. $(A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)$ 。可以对 $F = D^TB^TXAC$ 求导来证明，一方面，直接求导得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (AC) \otimes (BD)$ ；另一方面，引入 $Y = B^T X A$ ，有 $\frac{\partial F}{\partial Y} = C \otimes D$ ,
$\frac{\partial Y}{\partial X} = A \otimes B$ ，用链式法则得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (A\otimes B)(C \otimes D)$ 。

4. $K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I$ ，所以换位矩阵是正交矩阵。

5. $K_{pm}(A\otimes B) K_{nq} = B\otimes A$ ， $A$ 是 $m×n$ 矩阵， $B$ 是 $p×q$ 矩阵。可以对 $AXB^T$ 做向量化来证明，一方面， ${vec}(AXB^T) = (B\otimes A){vec}(X)$ ；另一方面， ${vec}(AXB^T) = K_{pm}{vec}(BX^TA^T) = K_{pm}(A\otimes B){vec}(X^T) = K_{pm}(A\otimes B) K_{nq}{vec}(X)$ 。

复合法则

假设已求得 $\frac{\partial F}{\partial Y}$ ，而 $Y$ 是 $X$ 的函数，如何求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 呢？从导数与微分的联系入手， ${vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T{vec}(dY) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\frac{\partial Y}{\partial X}^T{vec}(dX)$ ，可以推出链式法则 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial Y}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}$

矩阵对矩阵的一般求导步骤

1.对矩阵值函数 $F$ 两端作微分，利用微分运算法则化简

2.对两端作列向量化运算，利用列向量化法则化简，注意看列向量里面是什么形式，就用什么公式，如列向量里面是两个矩阵相乘，就想办法凑进去一个单位矩阵，并使得 ${vec}x$ 在中间，然后利用vec的矩阵乘法公式

3.利用微分和矩阵的联系 ${vec}(dF)$ =
$\frac{\partial F}{\partial X}^T {vec}(dX)$ ,求 $\frac{\partial f}{\partial X}$

一些例子

例1： $F = AX$ ， $X$ 是 $m×n$ 矩阵，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解： 1.作微分： $dF=AdX$

2.列向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在 $dX$ 右侧添加单位阵： ${vec}(dF) = {vec}(AdX) = (I_n\otimes A){vec}(dX)$

3.对照导数与微分的联系得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = I_n\otimes A^T$ 。

特例：如果 $X$ 退化为向量，即 $\boldsymbol{f} = A \boldsymbol{x}$ ，则根据向量的导数与微分的关系d $\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$ ，得到 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = A^T$

$df(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = tr(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}}^T d\mathbf{X}) + tr(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{Y}}^T d\mathbf{Y})$
例2： $f = \log |X|$ ，X是n×n矩阵，求 $\nabla^2_X f$ 。

解： 1.求微分： $d\nabla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T$

2.列向量化， ${vec}(d\nabla_X f)= -K_{nn}{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}(X^{-T}\otimes X^{-1}){vec}(dX)$ ，

3.对照导数与微分的联系，得到 $\nabla^2_X f = -K_{nn}(X^{-T}\otimes X^{-1})$ ，注意它是对称矩阵。
例3： $F = A\exp(XB)，A$ 是 $l×m$ 矩阵， $X$ 是 $m×n$ 矩阵， $B$ 是 $n×p$ 矩阵， $exp$ 为逐元素函数，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解： 1.求微分： $dF = A(\exp(XB)\odot (dXB))$

2.列向量化: ${vec}(dF) = (I_p\otimes A){vec}(\exp(XB)\odot (dXB)) = \\(I_p \otimes A) {diag}(\exp(XB)){vec}(dXB) = (I_p\otimes A){diag}(\exp(XB))(B^T\otimes I_m){vec}(dX)$ 。

3.对照导数与微分的联系得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (B\otimes I_m){diag}(\exp(XB))(I_p\otimes A^T)$ 。

注解

1.一般而言，这套方法就是为了矩阵对矩阵求导而引入的，由于这里是利用列向量定义的导数，所以直接应用在标量对矩阵 $X\in \mathbb{R}^{m\times n}$ 的导数上，会得到一个 $mn\times1$ 的列向量，这与我们一般定义的标量对矩阵的导数相悖，所以一般标量对矩阵的导数，我们还是利用上一节的方法。当然，若将上一节定义的标量 $f(X)\in \mathbb{R}^{1}$ 对矩阵 $X\in \mathbb{R}^{m\times n}$ 的导数用记号 $\nabla_X f\in \mathbb{R}^{m\times n}$ 来表示，则这里定义的 $\frac{\partial f}{\partial X}={vec}(\nabla_X f)$ ,在牢记这一条的情况下，我们可以用本节的方法来解决标量对矩阵求导，只是没有上一节的方法方便。为了满足读者的好奇心，我们给出标量对矩阵求导的一个例子，并且用两种方法来解决。

2.标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为 $\nabla^2_X f = \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} = \frac{\partial \nabla_X f}{\partial X}(mn×mn)$ 是对称矩阵，这个二阶导数分两次进行，第一次是标量对矩阵求导，第二次是矩阵对矩阵求导。

3.如何理解 $K_{mn}(mn×mn)$ ,它是一个换位矩阵，根据 ${vec}(A^T) = K_{mn}\\{vec}(A)$ ，它的作用是使的 ${vec}(A^T)$ 和 ${vec}(A)$ 的若干行对换位置。由 $[A]_{i,j}=[A]_{j,i}=[{vec}(A^T)]_{(i-1)n+j}=[{vec}(A)]_{(j-1)n+i}$ ,
这里 $A\in \mathbb{R}^{m\times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$ ，所以 $K_{mn}$ 就是单位矩阵(mn×mn)交换 $(i-1)n+j$ 和 $(j-1)n+i$ 行得到的一个矩阵。

对两节内容的总结

我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽。

上一节中，我们了解了，标量对矩阵的导数与微分的联系是 $df =\\ {tr}((\nabla_Xf)^T dX)$ ，先对 $f$ 求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是 $df = (\nabla_{\boldsymbol{x}}f)^T d\boldsymbol{x}$

下一节中，我们了解了，矩阵对矩阵的导数与微分的联系是 ${vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T {vec}(dX)$ ，先对 $F$ 求微分，再使用列向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^Td\boldsymbol{x}$ 。

reference

如何理解矩阵对矩阵求导？-知乎-猪猪专业户

矩阵求导术(上)-知乎-长躯鬼侠

矩阵求导术(下)-知乎-长躯鬼侠

Lagrange duality

application

applied on:\

最大熵模型\
SVM(support vector machine)

primal problem

Set $f(\boldsymbol x),c_{i}(\boldsymbol x),h_{j}(\boldsymbol x)$ are continuously differentiable
function over $boldsymbol R{n}$ , consider optimization problem with constraints
$\begin{split} &\min_{\boldsymbol x\in \boldsymbol R^{n}}\ f(\boldsymbol x) \\ s.t.\ c_{i}(\boldsymbol x)&\leq0, \ i=1,2,\cdots,k\\ h_{j}(\boldsymbol x)&=0, \ j=1,2,\cdots,l \end{split}$

generalized Lagrange function

$L(\boldsymbol x,\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=f(\boldsymbol x)+\sum\limits_{i=1}^{k}a_{i}c_{i}(\boldsymbol x)+\sum\limits_{j=1}^{l}\beta_{j}h_{j}(\boldsymbol x)$
where,
$\boldsymbol x=(x^{1},x^{2},\dots,x^{n})^{T}\in\boldsymbol R^{n}$ , $\alpha_{i},\beta_{j}$
are Lagrange multiplier, $\alpha_{i}\geq0$
After introduced generalized Lagrange function, primal problem is equal
to $\begin{split} &\min\limits_{\boldsymbol x}\max\limits_{\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta}L(\boldsymbol x,\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)\\ &s.t.\ \alpha_{i}\geq0, \ i=1,2,\dots,k \end{split}$

dual problem

$\begin{split} &\max\limits_{\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta}\min\limits_{\boldsymbol x}L(\boldsymbol x,\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)\\ &s.t.\ \alpha_{i}\geq0, \ i=1,2,\dots,k \end{split}$

KKT(Karush-Kuhn-Tucker)condition

$\begin{split} \nabla_{x}L(\boldsymbol x,\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)&=0\\ \nabla_{\alpha}L(\boldsymbol x,\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)&=0\\ \nabla_{\beta}L(\boldsymbol x,\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)&=0\\ \alpha_{i}c_{i}(\boldsymbol x)=0, \ i=&1,2,\dots,k\\ c_{i}(\boldsymbol x)\leq0, \ i=&1,2,\dots,k\\ \alpha_{i}\geq0, i=&1,2,\dots,k\\ h_{j}(\boldsymbol x)=0, j=&1,2\dots,l \end{split}$

if $f(\boldsymbol x)$ and $c_{i}(\boldsymbol x)$ are convex function, $h_{j}(\boldsymbol x)$ are
affine function[^1], and inequation constrains $c_{i}(\boldsymbol x)$ strictly
hold, that is, exist $\boldsymbol x$ , s.t. for any $i$ , hold $c_{i}(\boldsymbol x)<0$ ,
then, there must be $\boldsymbol x^{*},\boldsymbol\alpha^{*},\boldsymbol\beta^{*}$ are the
optimal solution of primal problem as well as dual problem and satisfy
KKT condition at $\boldsymbol x^{*},\boldsymbol\alpha^{*},\boldsymbol\beta^{*}$ .

Remark: so, when the prerequisites are satisfied, we can use KKT
condition to find the optimal solution
$\boldsymbol x^{*},\boldsymbol\alpha^{*},\boldsymbol\beta^{*}$ .

$f(x)$ is called affine function, when it holds that
$f(x)=\boldsymbol a\cdot \boldsymbol x+b, \boldsymbol a\in \boldsymbol{R}^{n},b\in \boldsymbol R, \boldsymbol x\in R^{n}$

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2018-11-08

Matrix

notation

Basic calculate

误差

common distribution

gamma distribution

gamma function {#gamma-function .unnumbered}

Matrix Differentiation

Matrix Differentiation-from functional analysis points

标量对矩阵的导数

核心思想 {#核心思想 .unnumbered}

矩阵微分运算法则

迹技巧(trace trick)

复合法则

标量对矩阵的一般求导步骤

一些例子

矩阵对矩阵的导数 {#矩阵f对矩阵x的导数 .unnumbered}

列向量化运算法则

一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式

复合法则

矩阵对矩阵的一般求导步骤

一些例子

注解

对两节内容的总结

reference

Lagrange duality

application

primal problem

generalized Lagrange function

dual problem

KKT(Karush-Kuhn-Tucker)condition

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