线性规划实战—连续投资问题

本章涉及知识点：

1、前言

2、案例问题的提出

3、决策变量的定义

4、基本情景的假设

5、约束条件的翻译

6、目标函数的建立

7、数学模型的归纳

8、python编程求解模型

9、案例结果分析

10、心得体会

一、前言

继写完线性规划的数学算法和实战的两篇文章后—《线性规划的算法分析》和《线性规划实战—投资的收益和风险》，我们可以看到，一个经济、管理的问题凡是满足以下条件，就可以建立线性规划的模型

（1）现实问题的目标(价值)函数可以用一次多项式来表达，即为线性函数

（2）目标函数的可行解(方案)在其凸集上存在多种组合解

（3）目标的量化均满足约束条件，且这些约束条件可以用线性等式或不等式来描述

下面我们继续分析一个连续投资的场景

二、案例问题的提出

考虑下列投资项目：

项目A：在第1~4年每年年初可以投资，并于次年年末收回本利115%；

项目B：第3年年初可以投资，一直到第5年年末能收回本利125%，且规定最大投资额不超过4万元；

项目C：第2年年初可以投资，一直到第5年年末能收回本利140%，且规定最大投资额不超过3万元；

项目D：5年内每一年年初均可以购买公债，并于当年年末归还本金，并加获得利息6%。

如果你有10万元本金，求确定一个有效的投资方案，使得第5年年末你拥有的资金的本利总额最大？

三、决策变量的定义

分析场景里存在时间轴，即存在两种类型的变量

（1）每年(时间点)均有至少一种投资项目选择，则选择的数量为第一类变量

（2）每个投资项目投资的资金数目为第二类变量

由于线性规划适合处理静态问题，为此我们将时间轴维度拉平，定义决策变量为

决策变量的定义

其分别表示第i年给项目A、B、C、D的投资数额，总共有4*5=20个互相独立的决策变量，则根据场景的投资规则，我们可以列出翻译出下列二维表

投资规则

上述表可以按行方向翻译为：该项目在5年内的投资情况；按列方向翻译为：该年内选择投资的项目组合和额度

四、基本情景的假设

（1）由于每个项目均是年初方可投资，则假设每年的投资和收益都是连续的

（2）每次投资，都应该把可能收益的本利全部投出去，即手中不应当有剩余的呆滞资金

（3）每种投资项目之间是互相独立的

（4）每种投资项目的收益为定值，不受其他因素的干扰

（5）投资的额度可以是任意自然数，不一定是整万元

五、约束条件的翻译

基于决策变量的意义和模型场景的假设，我们来翻译题目场景的约束条件集合

第1年年初：

还未开始投资，本金为100000元，只有项目A和项目D可以选择，则第1年的资金分配为