一、用一般式方程的系数计算椭圆参数
二次曲线的一般式方程为
，当
时所表示的图形为椭圆。
设椭圆的圆心为)
，长半轴长度为 a，短半轴长度为 b，长半轴与 x 轴的夹角为 θ。
通过将坐标做平移和旋转变化，可以得到标准形式的椭圆方程：
![\frac{[(x-x_0)\cosθ+(y-y_0)\sinθ]^2}{a^2}+\frac{[-(x-x_0)\sinθ+(y-y_0)\cosθ]^2}{b^2}=1](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cfrac%7B%5B(x-x_0)%5Ccos%CE%B8%2B(y-y_0)%5Csin%CE%B8%5D%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5B-(x-x_0)%5Csin%CE%B8%2B(y-y_0)%5Ccos%CE%B8%5D%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1)
展开后，与一般式做对比，并且由于一般式方程乘以任意的非零常数 k 仍成立，可得：
%5Csin%CE%B8%5Ccos%CE%B8%3DkB%20%5C%5C%20a%5E2%5Ccos%5E2%CE%B8%2Bb%5E2%5Csin%5E2%CE%B8%3DkC%20%5C%5C%20-2Ax_0-By_0%3DD%20%5C%5C%20-Bx_0-2Cy_0%3DE%20%5C%5C%20k(Ax_0%5E2%2BBx_0y_0%2BCy_0%5E2)-a%5E2b%5E2%3DkF%20%5Cend%7Bcases%7D)
可以先解出：
利用
可得：
%5Csin2%CE%B8%3DkB%20%5C%5C%20(b%5E2-a%5E2)%5Ccos2%CE%B8%3Dk(A-C)%20%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D)
所以)
，利用%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D-1%7D%7Bx%7D)
可得：
%5E2%2BB%5E2%7D-(A-C)%7D%7BB%7D)
。
利用%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B1%7D%7D)
可得：
%20%5C%5C%20b%5E2-a%5E2%3D%5Cpm%20k%5Csqrt%7B(A-C)%5E2%2BB%5E2%7D%20%5C%5C%20a%5E2b%5E2%3Dk(Ax_0%5E2%2BBx_0y_0%2BCy_0%5E2-F)%3Dk(%5Cfrac%7BAE%5E2-BDE%2BCD%5E2%7D%7B4AC-B%5E2%7D-F)%20%5Cend%7Bcases%7D)
假设 A>0，否则所有系数乘以-1，最后解出：
%7D%7BA%2BC-%5Csqrt%7B(A-C)%5E2%2BB%5E2%7D%7D%20%5C%5C%5C%5C%20b%5E2%20%3D%20%5Ccfrac%7B2(%5Cfrac%7BAE%5E2-BDE%2BCD%5E2%7D%7B4AC-B%5E2%7D-F)%7D%7BA%2BC%2B%5Csqrt%7B(A-C)%5E2%2BB%5E2%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D)
长半轴对应的倾角为%5E2%2BB%5E2%7D%7D%7BB%7D)
。
二、坐标变换的方法可用参数方程来推导
把标准椭圆的参数方程
旋转 θ 角，再平移到，得到的参数方程为：
解出：
![\begin{cases} \cos t = \frac{1}{a} [(x-x_0) \cosθ + (y-y_0) \sinθ] \\\\ \sin t = \frac{1}{b} [-(x-x_0) \sinθ + (y-y_0) \cosθ] \end{cases}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Ccos%20t%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%5B(x-x_0)%20%5Ccos%CE%B8%20%2B%20(y-y_0)%20%5Csin%CE%B8%5D%20%5C%5C%5C%5C%20%5Csin%20t%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D%20%5B-(x-x_0)%20%5Csin%CE%B8%20%2B%20(y-y_0)%20%5Ccos%CE%B8%5D%20%5Cend%7Bcases%7D)
由
可得：
三、用矩阵形式推导椭圆参数
形如
的二次曲线方程可以写成矩阵形式：
其中
，称作(x,y)的齐次坐标，
为系数矩阵。当
时，
表示的二次曲线为椭圆。
如果允许
，𝘅 的定义域从二维欧氏空间扩展到二维投影空间。
称作极点 𝘅 关于椭圆 Q 的极线。当 𝘅 在 Q 上时，
经过 𝘅，
，且 是 Q 在 𝘅 处的切线。当 𝘅 椭圆外面时，𝘅 离椭圆越远， 越靠近椭圆的圆心。
无穷远点
的极线
和无穷远点
的极线
都过圆心。
联立
可解出椭圆的圆心坐标为：
Q 可以分解为：
其中f-(ae%5E2-2bde%2Bcd%5E2)%7D%7Bac-b%5E2%7D)
。
形如
的系数矩阵可表示圆心在原点上的椭圆。
取
的本征值和本征向量，
，左侧的
是坐标点，可以看作是从原点到极点的向量；右侧的是极线的参数，即
，作为向量则表示垂直于极线的方向。所以本征向量是作为坐标点的对应的极线垂直于作为向量的的向量。当坐标点在椭圆上时，该点的切线垂直于该点到原点的连线。
仅当极点在轴线上时，对应的极线垂直于轴线。仅当轴线过原点时轴线的方向与轴线上点的坐标值一致。当两条轴线都过原点时，椭圆的圆心在原点上。
因为是齐次坐标，只有前两个维度表示坐标值或轴线方向，所以有
解出来的本征向量就是椭圆轴线的方向：
%5E2%20%2B%204%20b%5E2%7D%2C%5C%202b)%20%5C%5C%5C%5C%20v_2%20%3D%20(a-c%20%2B%20%5Csqrt%7B(a-c)%5E2%20%2B%204%20b%5E2%7D%2C%5C%202b)%20%5Cend%7Bcases%7D)
本征值为：
%5E2%20%2B%204%20b%5E2%7D)%20%5C%5C%5C%5C%20%CE%BB_2%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(a%2Bc%20%2B%20%5Csqrt%7B(a-c)%5E2%20%2B%204%20b%5E2%7D)%20%5Cend%7Bcases%7D)
两个正交的轴线方向组成一个旋转矩阵，坐标变换后椭圆的系数矩阵变为
，对比椭圆的标准型
，可知
为椭圆半轴的长度。本征值与半轴的平方成反比，所以绝对值较小的本征值对应椭圆的长半轴。当 a 和 c 为正数时
，
为长轴方向；当 a 和 c 为负数时
，
为长轴方向。
半轴长度的平方为：
f)%7D%7B(ac-b%5E2)(a%2Bc%20-%20%5Csqrt%7B(a-c)%5E2%20%2B%204%20b%5E2%7D)%7D%20%5C%5C%5C%5C%20r_2%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B2(ae%5E2-2bde%2Bcd%5E2-(ac-b%5E2)f)%7D%7B(ac-b%5E2)(a%2Bc%20%2B%20%5Csqrt%7B(a-c)%5E2%20%2B%204%20b%5E2%7D)%7D%20%5Cend%7Bcases%7D)
与 x 轴的夹角为：
%5E2%20%2B%204%20b%5E2%7D%7D%3D%5Carctan%5Cfrac%7Bc-a%20-%20%5Csqrt%7B(a-c)%5E2%20%2B%204%20b%5E2%7D%7D%7B2%20b%7D)
四、由椭圆参数计算椭圆方程的系数
当 
已知时，根据前面的推导：
取
，得：
%5Csin%CE%B8%5Ccos%CE%B8%20%5C%5C%20C%3Da%5E2%5Ccos%5E2%CE%B8%2Bb%5E2%5Csin%5E2%CE%B8%20%5C%5C%20D%3D-2Ax_0-By_0%20%5C%5C%20E%3D-Bx_0-2Cy_0%20%5C%5C%20F%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(Dx_0%2BEy_0)-a%5E2b%5E2%5Cend%7Bcases%7D)
