〇、说明
支持向量机(Support Vector Machine,SVM)是监督学习中非常经典的算法。笔者主要参考学习的是李航老师《统计学习方法（第二版）》[1]和周志华老师的西瓜书《机器学习》[2]。
如有错误疏漏，烦请指正。如要转载，请联系笔者，hpfhepf@gmail.com。
一、问题描述
提前说明一下，为什么把看起来这么简单的东西，专门写一篇笔记，因为我觉得这个很重要，相当于理解支持向量机的一把钥匙，只有理解了支持向量机是怎么来的，才有可能理解后面更复杂的内容。
考虑一个二类问题。给定一个特征空间上的训练数据集
其中，，
，
。
为第
个特征向量，也称为实例，
为
的类标记。当
时，称
为正例；当
时，称
为负例。
称为样本点。
假设训练数据集是线性可分的。
学习的目标是在特征空间找到一个分类超平面，能将实例分到不同的类。分离超平面对应于方程，它由法向量
和截距
决定，可用
表示。分离超平面将特征空间划分为两部分，一部分是正类，一部分是负类。法向量指向的一侧为正类，另一侧为负类。
对于线性可分的训练数据集，存在无穷多个符合条件的分类超平面，那到底哪一个是最好的呢？
二、线性可分支持向量机
对于无穷多个分类超平面，直观上来说，位于两类样本中间的那个超平面可能就是最好的超平面，如图1中粗线条表示的分类超平面。
样本点到分类超平面
的距离为
。因此可以定义求取此最优超平面的问题为如下的最优化问题
优化问题一：
这样的优化问题比较直观，但不容易求解。
对于如上所述的训练数据集，我们可以构造分类超平面，使得
进一步，，使得
这是推导过程中的关键一步，在周志华老师《机器学习》[2]书中的侧边栏给出，但不够清晰。
式中，两个不等式两边同时除以
，缩放后的系数仍然用
表示，则有
如图2所示，距离超平面最近的几个训练样本使得式中等号成立，这些样本被称为“支持向量”。两个不同类的支持向量到分类超平面的距离之和为
，称之为“间隔”。
此时，优化问题一（式）等价于
优化问题二：
等价于
优化问题三：
这是支持向量机的基本型。
求得优化问题三（式）的最优解
，就得到最优分类超平面
对应的分类决策函数为
以上推导过程参考周志华老师《机器学习》的思路。李航老师《统计学习方法（第二版）》使用的是函数间隔和几何间隔的思路来推导的。
三、附录
A、参考
[1]、《统计学习方法（第二版）》，李航著，清华大学出版社
[2]、《机器学习》，周志华著，清华大学出版社
B、相关目录
[a]、支持向量机（一）——线性可分支持向量机导出
[d]、支持向量机（四）——核方法
[e]、支持向量机（五）——SMO算法
C、时间线
2020-05-27 第一次发布
2020-06-06 修改问题描述和图片来源
