矩阵的迹及迹的求导

参考https://www.cnblogs.com/qianxiayi/p/9025400.html

定义

对于一个N x N的矩阵 A，其主对角线元素之和称为迹，即： $tr(A) = \sum_i^N a_i$

列向量模的平方与矩阵的逆

存在N x 1列向量 M，其模的平方记为 $||M||^2 = \sum_i^N m_i$
而其模的平方可以转换为 $||M||^2 = tr(M^T M) = \sum_i^N m_i$
其中 $M^TM$ 是一个N x N的矩阵，矩阵的对角线恰好是列向量的迹

定理

定理 1 tr(AB) = tr(BA)

$tr(AB) = \sum_i^n(AB)_{ii} = \sum_i^n \sum_j^m A_{ij}B_{ji} = \sum_j^m \sum_i^n B_{ji}A_{ij}= \sum_j^m(BA)_{jj} = tr(BA)$

推论 tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

BC、AB、CA看作整体，利用定理1，即可推出

定理 2 tr(A+B) = tr(A)+tr(B)

定理3 a $\in \mathbb{R^{1x1}}$ , 则tr(a) = a

定理4 tr( $A$ ) = tr( $A^T$ )

定理5 $\frac{ \partial (AB)}{ \partial A} = B^T$ 其中A 是N x M的矩阵，B是M x N的矩阵

$tr(AB) = tr( \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm} \end{pmatrix})$
只考虑对角线的元素下，有
$tr(AB) = \sum_j^na_{1j}b_{j1} + \cdots + \sum_j^na_{mj}b_{jm} = \sum_i^m \sum_j^na_{ij}b_{ji}$
$\frac{ \partial (AB)}{ \partial a_{ij}} = b_{ji} \Rightarrow \frac{ \partial (AB)}{ \partial A} = B^T$

推论 $\frac{ \partial (A^TB)}{ \partial A} = \frac{ \partial (BA^T)}{ \partial A} = B$

同理，关于 $a_{ji}$ 求偏导，即可

定理6 $\frac{ \partial (ABA^TC)}{ \partial A} = CAB+C^TAB^T$

$将ABA^TC看作由U(A)和V(A)构成的函数，其中U(A) = A,V(A)=BA^TC$
$\frac{ \partial (ABA^TC)}{ \partial A} = \frac{ \partial (UV)}{ \partial A} + \frac{ \partial (VU)}{ \partial A}这里由乘法的求导公式得到$
$\frac{ \partial (ABA^TC)}{ \partial A} = (BA^TC)^T + \frac{ \partial (A^TCBA)}{ \partial A} = C^TAB^T +CBA$

最后编辑于：2020.02.28 18:53:44

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定理

定理 1 tr(AB) = tr(BA)

推论 tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

定理 2 tr(A+B) = tr(A)+tr(B)

定理3 a , 则tr(a) = a

定理4 tr() = tr()

定理5 其中A 是N x M的矩阵，B是M x N的矩阵

推论

定理6

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