前向传播和反向传播是神经网络中的重要基础。两者存在一些联系，所以本文将两者一起讲述，有利于大家理解。同时反向传播是理解神经网络模型训练的重点，需要一些微积分基础（导数，偏导数，链式法则）。如果你准备好了，那我们开始吧。

1.前向传播Forward-Propagation

前向传播如图所示：图片下方的单词表示该层所使用的active function。

Forward-propagation

Input Layer-->h1 Layer矩阵计算细节:

Matrix Operation

Relu operation

举个例子:

Input -->h1 example

h1 Layer-->h2 Layer矩阵计算细节:

Matrix Operation

Sigmoid Operation

例子：

h1-->h2 example

h2 -->output 矩阵计算细节:

Matrix Operation

Softmax Operation

例子：

h2-->output example

上面的[0.2698, 0.3223, 0.4078]，便是我们将[0.1, 0.2, 0.7]输入模型后得到的结果。好了我们来通俗解释一下什么是前向传播。

Forward-propagation：将固定的数值的一个样本输入模型，模型利用weight ，bias（随机初始），active function对进行一系列的运算最后输出一个结果（actual output）。

2.损失函数 loss function

好奇的小伙伴可能会想不是要说back-propagation么？为什么搞个loss function 出来？慢慢看下去你就明白了。
在监督学习的任务中，我们会有大量的固定的输入和固定的输出（desired output）作为样本。我们将一个样本输入参数随机初始化后的模型得到一个输出，但只是一个估计值，我们想得到的是。于是就想怎么样可以使尽量的接近呢？这个问题好像有点复杂，那我们先衡量一下和的差距吧。
均方误差 MSE（mean square error）常用于回归任务：

MSE

cross entropy

我们知道在训练阶段，模型的输入和输出是固定的，只能够调节模型中的weight和bias 使 尽量的接近 ，即调节模型中的参数使loss function计算出的loss尽可能的小。更进一步的可以理解为：

当loss 逐步变小时，weight和bias应该如何变化。原来loss function 就像一个教练，它能够指导模型去学习最优的weight和bias去完成预测任务。

具体的weight和bias的更新过程就是back-propagation所要做的啦。

cross entropy

例子：

loss

3.反向传播 Back-Propagation

output Layer-->h2 Layer的反向传播:

Backpropagating errors to h2 weights

a. 与 的变化关系：

交叉熵偏导公式

Matrix of cross-entropy derivatives

例子：

cross entropy偏导矩阵值

b. 与的变化关系：

softmax偏导公式

Matrix of softmax derivatives

softmax偏导矩阵值

c.与的变化关系：

偏导公式

偏导矩阵和偏导矩阵值

d.与的变化关系:由链式法则可得

Chain rule breakdown of Error derivative

output-->h2的反向传播

数值矩阵

以0.01的学习率对 更新：

反向传播对W的更新值

h2 Layer-->h1 Layer的反向传播:

Backpropagating errors to h1 weights

a.与的变化关系:

Derivative of sigmoid output wrt h2 input

h2 output 和 input 的偏导矩阵值

b.与的变化关系:

h2 input 和 weight的偏导公式

h2 input 和 weight_jk 的偏导矩阵值

c.与的变化关系:由链式法则可得

d.与的变化关系:由链式法则可得

error 和 weight_jk的偏导公式

error 和 weight_jk的偏导矩阵

以0.01的学习率对进行更新：

h1 Layer-->Input Layer 的反向传播：

a.与的变化关系:

b.与的变化关系:

c.与的变化关系:由链式法则可得

以0.01的学习率对进行更新：

4.总结

模型随机初始化的全部weight：

向模型输入一个样本：[0.1, 0.2, 0.7]和：[1.0, 0.0, 0.0],通过forward propagation 模型输出一个结果:[0.2698, 0.3223, 0.4078]。然后利用loss function 计算与 的loss，以loss 变小为原则指导back propagation，最终实现weight的一次更新。

更新后的全部weight：

summary

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