长方体二面角：2020年全国卷C题19

19.（12 分）

如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $E,F$ 分别在棱 $DD_1, BB_1$ 上，且 $2DE=ED_1，BF=2FB_1.$

（Ⅰ）证明∶点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内;

（Ⅱ）若 $AB=2，AD=1，AA_1=3$ ，求二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值.

2020年全国卷C

【解答问题Ⅰ】

∵ $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是长方体，

∴ $AA_1C_1C, \; BB_1D_1D$ 是矩形.

∵ $AC_1,CA_1$ 是矩形 $AA_1C_1C$ 的对角线，∴ $AC_1,CA_1$ 互相平分，其交点同时是这两条线段的中点；

同理， $BD_1,DB_1$ 的交点同时是这两条线段的中点；

∴ $AC_1,CA_1,BD_1,DB_1$ 交于一点；

记该点为 $Q$ .

∵ $2DE=ED_1,\;BF=2FB_1$ , ∴ $DE=FB_1$ 且 $DE//FB_1$ ,

∴ $DEB_1F$ 是平行四边形,

∴ $DB_1,EF$ 相交于 $DB_1$ 的中点，即点 $Q$ .

$Q \subset EF \Rightarrow Q \subset$ 平面 $AEF$ ,

$Q \subset AEF, A \subset AEF \Rightarrow$ 直线 $AQ \subset$ 平面 $AEF$

又∵ $C_1 \subset AQ$ , ∴ 点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内. 证明完毕.

【解答问题Ⅱ：建立坐标系】

以 $A_1$ 为原点建立直角坐标系，以 $AB_1,AD_1,AA_1$ 为 $x,y,z$ 轴.

并以 $\overrightarrow{m} , \overrightarrow{n}$ 分别代表平面 $EFA_1, EFA$ 的法向量；

相关各点坐标如下：

$A_1(0,0,0),\;A(0,0,3)$

$E(0,1,2),\;F(2,0,1)$

$\overrightarrow{A_1E}=(0,1,2),\;\overrightarrow{AE}=(0,1,-1),$

$\overrightarrow{A_1F}=(2,0,1),\;\overrightarrow{AF}=(2,0,-2),$

【解答问题Ⅱ：算法一】

$\overrightarrow{A_1F} \times \overrightarrow{A_1E}=(-1,2,-4),$

$\overrightarrow{AF} \times \overrightarrow{AE}=(2,2,2),$

$\overrightarrow{m} =(-1,2,-4),$

$\overrightarrow{n} =(1,1,1),$

$\dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}} {|\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = - \dfrac {1} {\sqrt{7}}$

结论：二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值 $\dfrac {\sqrt{42}} {7}$ .

【解答问题Ⅱ：算法二】

$\overrightarrow{A_1F} \cdot \overrightarrow{m}=0,\;\overrightarrow{A_1E} \cdot \overrightarrow{m}=0$ , 所以

$m_y+2m_z=0$

$2m_x+m_z=0$

$\overrightarrow{m}=(1,4,-2)$

$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{n}=0,\;\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{n}=0$ , 所以

$n_y-n_z=0$

$2n_x-2n_z=0$

$\overrightarrow{n}=(1,1,1)$

$\dfrac {\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}} {|\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \dfrac {1} {\sqrt{7}}$

结论：二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值 $\dfrac {\sqrt{42}} {7}$ .

【提炼与提高】

「如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内。」

这一命题是立体几何的 『四大公理』 之一。

应用这一公理，结合矩形、平行四边形的性质，问题1不难解答。关键是要表达清楚。

问题2比较适合用向量方法解答。为了避免计算中的失误，可以用两种算法，起到验算的效果。

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 212,657评论 6赞 492
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 90,662评论 3赞 385
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 158,143评论 0赞 348
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 56,732评论 1赞 284
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 65,837评论 6赞 386
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,036评论 1赞 291
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,126评论 3赞 410
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 37,868评论 0赞 268
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,315评论 1赞 303
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,641评论 2赞 327
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 38,773评论 1赞 341
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,470评论 4赞 333
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,126评论 3赞 317
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 30,859评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,095评论 1赞 267
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 46,584评论 2赞 362
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 43,676评论 2赞 351

长方体 二面角：2020年全国卷C题19

长方体 二面角：2020年全国卷C题19

推荐阅读更多精彩内容

长方体二面角：2020年全国卷C题19

长方体二面角：2020年全国卷C题19