数学分析理论基础23：不定式极限

不定式极限

两个无穷小量或无穷大量之比的极限统称为不定式极限

${0\over 0}$ 型不定式极限

定理：若函数 $f,g$ 满足：

1. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$

2.在点 $x_0$ 的某空心邻域 $U^\circ(x_0)$ 上两者都可导，且 $g'(x)\neq 0$

3. $\lim\limits_{x\to x_0}{f'(x)\over g'(x)}=A$ （ $A$ 可为实数也可为 $\pm\infty$ 或 $\infty$ ）

则 $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}{f'(x)\over g'(x)}=A$

证明：

补充定义 $f(x_0)=g(x_0)=0$ ，使得 $f,g$ 在点 $x_0$ 处连续

$\forall x\in U^\circ (x_0)$ ，在区间 $[x_0,x]$ (或 $[x,x_0]$ )上应用柯西中值定理

有 ${f(x)-f(x_0)\over g(x)-g(x_0)}={f'(\xi)\over g'(\xi)}$

即 ${f(x)\over g(x)}={f'(\xi)\over g'(\xi)}$ （ $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间）

当令 $x\to x_0$ 时，也有 $\xi\to x_0$

故 $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}{f'(\xi)\over g'(\xi)}=\lim\limits_{x\to x_0}{f'(x)\over g'(x)}=A\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.定理中 $x\to x_0$ 换成 $x\to x_0^+,x\to x_0^-,x\to \pm\infty,x\to \infty$ ，只要满足相应修正条件2中的邻域也可得同样的结论

2.若 $\lim\limits_{x\to x_0}{f'(x)\over g'(x)}$ 仍是 ${0\over 0}$ 型不定式极限，可再次用洛必达法则，即考察 $\lim\limits_{x\to x_0}{f'(x)\over g'(x)}$ 是否存在。此时 $f',g'$ 在 $x_0$ 的某邻域上必须满足条件

${\bullet\over \infty}$ 型不定式极限

定理：若函数 $f,g$ 满足：

1.在 $x_0$ 的某右邻域 $U_+^\circ(x_0)$ 上两者都可导，且 $g'(x)\neq 0$

2. $\lim\limits_{x\to x_0^+}g(x)=\infty$

3. $\lim\limits_{x\to x_0^+}{f'(x)\over g'(x)}=A$ ( $A$ 可为实数，也可为 $\pm\infty,\infty$ )

则 $\lim\limits_{x\to x_0^+}{f(x)\over g(x)}=A$

证明：

设 $A$ 为实数

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists x_1\in U_+^\circ(x_0)$

对满足不等式 $x_0<x<x_1$ 的每个 $x$

有 $A-{\varepsilon\over 2}<{f'(x)\over g'(x)}<A+{\varepsilon\over 2}$

$f,g$ 在 $[x,x_1]$ 上满足柯西中值定理

故 $\exists \xi\in(x,x_1)\subset(x_0,x_1)$ 使得

$A-{\varepsilon\over 2}<({f(x)\over g(x)}-{f(x_1)\over g(x)})({g(x)\over g(x)-g(x_1)})={f(x)-f(x_1)\over g(x)-g(x_1)}={f'(\xi)\over g'(\xi)}<A+{\varepsilon\over 2}$

$\because \lim\limits_{x\to x_0^+}{g(x)\over g(x)-g(x_1)}=1$

由保号性

$\exists \delta_1(<x_1-x_0)$ ，使得

当 $x_0<x<x_0+\delta_1$ 时 ${g(x)\over g(x)-g(x_1)}>0$

故 $(1-{g(x_1)\over g(x)})(A-{\varepsilon\over 2})+{f(x_1)\over g(x)}<{f(x)\over g(x)}<(1-{g(x_1)\over g(x)})(A+{\varepsilon\over 2})+{f(x_1)\over g(x)}$

又 $\lim\limits_{x\to x_0^+}g(x)=\infty$

故 $\lim\limits_{x\to x_0^+}((1-{g(x_1)\over g(x)})(A-{\varepsilon\over 2})+{f(x_1)\over g(x)})=A-{\varepsilon\over 2}$

$\lim\limits_{x\to x_0^+}((1-{g(x_1)\over g(x)})(A+{\varepsilon\over 2})+{f(x_1)\over g(x)})=A+{\varepsilon\over 2}$

由保号性

$\exists 0<\delta_1(<x_1-x_0)$

使得 $x_0<x<x_0+\delta_1$ 时

${g(x)\over g(x)-g(x_1)}>0$

故 $(1-{g(x_1)\over g(x)})(A-{\varepsilon\over 2})+{f(x_1)\over g(x)}<{f(x)\over g(x)}<(1-{g(x_1)\over g(x)})(A+{\varepsilon\over 2})+{f(x_1)\over g(x)}$

又 $\lim\limits_{x\to x_0^+}g(x)=\infty$

故 $\lim\limits_{x\to x_0^+}((1-{g(x_1)\over g(x)})(A-{\varepsilon\over 2})+{f(x_1)\over g(x)})=A-{\varepsilon\over 2}$

$\lim\limits_{x\to x_0^+}((1-{g(x_1)\over g(x)})(A+{\varepsilon\over 2})+{f(x_1)\over g(x)})=A+{\varepsilon\over 2}$

由保号性

$\exists 0<\delta(<\delta_1)$

当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时有

$A-\varepsilon<{f(x)\over g(x)}<A+\varepsilon$

即证得 $\lim\limits_{x\to x_0^+}{f(x)\over g(x)}=A$

类似可证 $A=\pm \infty$ 或 $\infty$ 的情形 $\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.定理对于 $x\to x_0^-,x\to x_0$ 或 $x\to \pm\infty,x\to \infty$ 等情形也有相同结论

2.若 $f',g',f'',g''$ 满足相应条件，则可再次应用定理

3.若 $\lim\limits_{x\to x_0}{f'(x)\over g'(x)}$ 不存在，不能说明 $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}$ 不存在

例：设 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty]$ 上可导， $\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)+f'(x))=A$ ，证明 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A$

证：

$\lim\limits_{x\to +\infty}e^x=+\infty$

故 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}{e^xf(x)\over e^x}$

$=\lim\limits_{x\to +\infty}{e^x(f(x)+f'(x))\over e^x}=\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)+f'(x))=A\qquad\mathcal{Q.E.D}$

其他类型不定式极限

不定式极限还有 $0\cdot \infty,1^\infty,0^0,\infty^0,\infty-\infty$ 等类型，经过简单变换，一般均可化为 ${0\over 0}$ 型或 ${\infty\over\infty}$ 型的极限

例：设 $\begin{cases}{g(x)\over x}\quad x\neq 0\\0\qquad x=0\end{cases}$

且已知 $g(0)=g'(0)=0,g''(0)=3$ ，试求 $f'(0)$

解：

$\because {f(x)-f(0)\over x-0}={g(x)\over x^2}$

$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}{g(x)\over x^2}=\lim\limits_{x\to 0}{g'(x)\over 2x}$

$={1\over 2}\lim\limits_{x\to 0}{g'(x)-g'(0)\over x-0}={1\over 2}g''(0)={3\over 2}$

数列不定式极限

可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果

例： $\lim\limits_{x\to \infty}(1+{1\over n}+{1\over n^2})^n$

解：

先求 $\lim\limits_{x\to +\infty}(1+{1\over x}+{1\over x^2})^x$

取对数后求极限

$\lim\limits_{x\to +\infty}x\ln (1+{1\over x}+{1\over x^2})=\lim\limits_{x\to +\infty}{\ln(1+x+x^2)-\ln x^2\over {1\over x}}$

$=\lim\limits_{x\to +\infty}{{2x+1\over 1+x+x^2}-{2\over x}\over -{1\over x^2}}$

$=\lim\limits_{x\to +\infty}{x^2+2x\over x^2+x+1}=1$

由归结原则可得

$\lim\limits_{x\to \infty}(1+{1\over n}+{1\over n^2})^n=\lim\limits_{x\to +\infty}(1+{1\over x}+{1\over x^2})^x=e$

注：不可在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量 $n\in \mathbb{N}_+$ 求导没有意义

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