L1和L2正则化

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。

L1正则化是指权值向量www中各个元素的绝对值之和
L2正则化是指权值向量www中各个元素的平方和然后再求平方根

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择的关系
上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0.在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1正则化，考虑二维情况：
$J = J_0+\alpha\sum_w|w|$
其中J0J_0J
0

$J_0$ 是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项， $\alpha$ 是正则化系数

image.png

彩色曲线是求解的过程，黑色方框是正则化函数，可以看到在图中，当等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率（这是很直觉的想象，突出的角比直线的边离等值线更近写），而在这些角上，会有很多权值等于0（因为角就在坐标轴上），这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数 $\alpha$ ，可以控制L图形的大小。 $\alpha$ 越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）； $\alpha$ 越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这时最优点的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。

L2正则化
$J=J_0+\alpha\sum_ww^2$

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二维平面下L2正则化的函数图形是个圆（绝对值的平方和，是个圆），与方形相比，被磨去了棱角。因此与L相交时使得或等于零的机率小了许多（这个也是一个很直观的想象），这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因，因为不太可能出现多数w都为0的情况。

L2正则化和过拟合的关系

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

为什么L2正则化可以获得值很小的参数

以线性回归中的梯度下降法为例，假设要求解的参数为 $\theta$ ， $h_\theta(x)$ 是我们的假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。假设有m个样本，线性回归的代价函数如下，为了后续处理方便，乘以一个常数 $\frac{1}{2m}$ ：

$J(\theta)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$ （3）

在梯度下降算法中，需要先对参数求导，得到梯度。梯度本身是上升最快的方向，为了让损失尽可能小，沿梯度的负反向更新参数即可。

对于单个样本，先对某个参数 $\theta_j$ 求导：

$\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta)=\frac{1}{m}(h_\theta(x)-y)\frac{\partial}{\partial\theta_j}h_\theta(x)$ （3.1）

注意到 $h_\theta(x)$ 的表达式是 $h_\theta(x)=\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_nx_n$ 。单个样本对某个参数 $\theta_j$ 求导， $\frac{\partial}{\partial\theta_j}h_\theta(x)=x_j$ ,上式的结果为：

$\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta)=\frac{1}{m}(h_\theta(x)-y)x_j$ （3.2）

在考虑所有样本的情况，将每个样本对 $\theta_j$ 的导数求和即可，得到下式：

$\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x)^{(i)}-y^{(i)})x_j^{(i)}$ (3.3)

梯度下降算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，因此在（3.3）前面添加一个负号，并乘以一个系数 $\alpha$ （学习率），得到最终用于迭代计算参数 $\theta_j$ 的形式：

$\theta_j: = \theta_j-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$ （4）

在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

$\theta_j:=\theta_j(1-\alpha\frac{\lambda}{m})-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$ （5）

其中 $\lambda$ 就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加l2正则化的迭代公式相比，每一次迭代， $\theta_j$ 都要先乘以一个小于1的因子（即（ $1-\alpha\frac{1}{m}$ ）），从而使得 $\theta_j$ 不断减小，因此总得来看， $\theta$ 是不断减小的。

L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

正则化参数的选择

通常越大的 $\lambda$ 可以让代价函数在参数为0时取到最小值。因为正则化系数越大，正则化的函数图形就会向坐标轴原点收缩得厉害，这个现象称为shrinkage，过程可以称为shrink to zero。

原文地址https://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/52433975