import numpy as np
import pandas as pd
A = np.array([[1, 2], [1, 1]])
type(A) #numpy.ndarray
AM = np.mat(A)
type(AM) #numpy.matrix
关于两种对象类型的选取：
- NumPy中的matrix类型对象和MATLAB中的matrix类型等价，和NumPy中数组类型对象底层基本结构不同；
- 在NumPy中，针对大规模数据，数组类型对象的计算速度要快于矩阵类型对象；
- 矩阵类型对象可以通过运算符直接进行矩阵乘法，而二维数组要进行矩阵乘法（及其他矩阵运算），则必须要使用包括
linalg（线性代数运算）模块在内的相关函数。
矩阵形变及特殊矩阵的构建
| 函数 | 描述 |
|---|---|
| a.T | 数组a转置（行列互换） |
| np.eye(n) | 创建包含n个分量的单位矩阵（对角线元素为1，其他元素为0） |
| np.diag(a1) | 以a1中各元素，创建对角矩阵（除对角线元素外，其他元素均为0） |
| np.triu(a) | 取矩阵a中的上三角矩阵 （左下角的元素均为0） |
| np.tril(a) | 取矩阵a中的下三角矩阵 （右上角的元素均为0） |
| a.reshape(m, n) | 重新设置矩阵的形状（行列） |
矩阵运算
| 描述 | 解释/函数 | 结果 |
|---|---|---|
| 矩阵维数 | a1.ndim | 数值 |
| 矩阵的形状 | a1.shape | 元组(row, col) |
| 每个对应位置元素相乘 | a1 * a2 | 与原向量/矩阵形状相同的向量/矩阵 |
| 逐元素相乘后相加 | 点积（内积），向量，矩阵通用 ，建议使用vdot(a1, a2) | 一个数值 |
| 矩阵乘法 | 代数学意义的矩阵相乘；a1(m,n)的列需要等于a2(n,k)的行 ；matmul(a1, a2); a1.dot(a2) | a1行(m)a2列(k)的矩阵，其中元素(m,k)为a1的第m行元素与a2的第k列元素对应相乘并相加 |
| 矩阵的迹 | 对角线元素相加；trace(A) | 一个数值 |
| 矩阵的秩 | 矩阵中行或列的极大线性无关数，且矩阵中行、列极大无关数总是相同的；linalg.matrix_rank(A) | 一个数值 |
| 矩阵A的行列式 | np.linalg.det(A) ；A必须是方阵 | 一个数值 |
| 矩阵求逆 | np.linalg.inv(A) ；A需要是满秩方阵 | 一个矩阵 |
- 线性无关：矩阵中的一列不能被其他列的线性组合所表示。
- 求矩阵的秩可用于降维（可被其他列的线性组合表示的列可被去掉）。
- 行列式可以简单将其理解为矩阵的一个基本性质或者属性，通过行列式的计算，我们能够知道矩阵是否可逆，从而可以进一步求解矩阵所对应的线性方程。实际上行列式是矩阵进行线性变换的伸缩因子。
- 矩阵的行列式为0，则矩阵不满秩
- 方程组的系数矩阵若存在逆矩阵，则该方程组有唯一解。
矩阵方程求解
令
则有
即
然后在矩阵方程左右两端同时左乘其逆矩阵，即可解出X的取值
- 代码实现：
A = np.array([[20, 8], [8, 4]])
A
B = np.array([[28, 12]]).T
B
np.linalg.matrix_rank(A) #判断A是否满秩
np.linalg.det(A) #判断A是否满秩（行列式是否为0）
np.linalg.inv(A) #若A满秩，则可以求A的逆矩阵
np.matmul(np.linalg.inv(A), B) #B左乘A的逆矩阵
- 类似于上述
的矩阵方程，可以直接使用Numpy提供的
linalg.solve函数求解：
np.linalg.solve(A, B)
最小二乘法
np.linalg.lstsq(X, y, rcond=-1)
# X为特征矩阵；y为标签数组
变量相关性
X = np.random.randn(20)
y = X + 1
np.corrcoef(X, y)
