机器学习笔记4 - 矩阵及其运算

import numpy as np
import pandas as pd
A = np.array([[1, 2], [1, 1]])
type(A) #numpy.ndarray
AM = np.mat(A)
type(AM) #numpy.matrix

关于两种对象类型的选取:

  • NumPy中的matrix类型对象和MATLAB中的matrix类型等价,和NumPy中数组类型对象底层基本结构不同;
  • 在NumPy中,针对大规模数据,数组类型对象的计算速度要快于矩阵类型对象;
  • 矩阵类型对象可以通过运算符直接进行矩阵乘法,而二维数组要进行矩阵乘法(及其他矩阵运算),则必须要使用包括linalg(线性代数运算)模块在内的相关函数。

矩阵形变及特殊矩阵的构建

函数 描述
a.T 数组a转置(行列互换)
np.eye(n) 创建包含n个分量的单位矩阵(对角线元素为1,其他元素为0)
np.diag(a1) 以a1中各元素,创建对角矩阵(除对角线元素外,其他元素均为0)
np.triu(a) 取矩阵a中的上三角矩阵 (左下角的元素均为0)
np.tril(a) 取矩阵a中的下三角矩阵 (右上角的元素均为0)
a.reshape(m, n) 重新设置矩阵的形状(行列)

矩阵运算

描述 解释/函数 结果
矩阵维数 a1.ndim 数值
矩阵的形状 a1.shape 元组(row, col)
每个对应位置元素相乘 a1 * a2 与原向量/矩阵形状相同的向量/矩阵
逐元素相乘后相加 点积(内积),向量,矩阵通用 ,建议使用vdot(a1, a2) 一个数值
矩阵乘法 代数学意义的矩阵相乘;a1(m,n)的列需要等于a2(n,k)的行 ;matmul(a1, a2); a1.dot(a2) a1行(m)a2列(k)的矩阵,其中元素(m,k)为a1的第m行元素与a2的第k列元素对应相乘并相加
矩阵的迹 对角线元素相加;trace(A) 一个数值
矩阵的秩 矩阵中行或列的极大线性无关数,且矩阵中行、列极大无关数总是相同的;linalg.matrix_rank(A) 一个数值
矩阵A的行列式 np.linalg.det(A) ;A必须是方阵 一个数值
矩阵求逆 np.linalg.inv(A) ;A需要是满秩方阵 一个矩阵
  • 线性无关:矩阵中的一列不能被其他列的线性组合所表示。
  • 求矩阵的秩可用于降维(可被其他列的线性组合表示的列可被去掉)。
  • 行列式可以简单将其理解为矩阵的一个基本性质或者属性,通过行列式的计算,我们能够知道矩阵是否可逆,从而可以进一步求解矩阵所对应的线性方程。实际上行列式是矩阵进行线性变换的伸缩因子
  • 矩阵的行列式为0,则矩阵不满秩
  • 方程组的系数矩阵若存在逆矩阵,则该方程组有唯一解

矩阵方程求解

20w+8b-28=0
8w+4b-12=0

A = \left [\begin{array}{cccc} 20 &8 \\ 8 &4 \\ \end{array}\right]

B = \left [\begin{array}{cccc} 28 \\ 12 \\ \end{array}\right]

X = \left [\begin{array}{cccc} w \\ b \\ \end{array}\right]
则有 A \cdot X - B = 0
A \cdot X = B
然后在矩阵方程左右两端同时左乘其逆矩阵,即可解出X的取值
A^{-1}AX=A^{-1}B
X=A^{-1}B

  • 代码实现:
A = np.array([[20, 8], [8, 4]])
A
B = np.array([[28, 12]]).T
B
np.linalg.matrix_rank(A) #判断A是否满秩
np.linalg.det(A) #判断A是否满秩(行列式是否为0)
np.linalg.inv(A)  #若A满秩,则可以求A的逆矩阵
np.matmul(np.linalg.inv(A), B) #B左乘A的逆矩阵
  • 类似于上述A*X^T=B的矩阵方程,可以直接使用Numpy提供的linalg.solve函数求解:
np.linalg.solve(A, B) 

最小二乘法

np.linalg.lstsq(X, y, rcond=-1)
# X为特征矩阵;y为标签数组

变量相关性

X = np.random.randn(20)
y = X + 1
np.corrcoef(X, y)
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