声明：该份试题解析是本人自己做了一遍，再根据教材理论来完成本文编写，符号太多编写工作量大，如发现答案有错误或者不够准确请及时给我留言，如需转载请表明出处。感谢所有提出意见和建议，以及帮助过我的朋友。如果觉得还行，欢迎点赞转发，谢谢！
一、(共4分)用逻辑符号表达下列语句(论域为包含一切事物的集合)
1、(2分)集合A的任一元素的元素都是A的元素
解析： P(x)： x是集合A的元素；Q(x,y)：x是y的元素。
∀x ∀y(P(y)∧Q(x,y) → P(x))
2、(2分)天下没有长相完全一样的两个人（要求写出两种形式，一种用全称量词，一种用存在量词）
解析： P(x)：x是人；Q(x,y)：x和y长相相同；R(x,y)：x和y相同
∀x ∃yP(x)∧P(y)∧Q(x,y) → R(x,y)
二、填空(1-2题每空1分，3-6题每空2分，共16分)
1、 设A={∅，{∅}}，计算∅-A=____∅______，A-P(∅)=______{{∅}}_______，P(A)-{∅} = _{{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}_，P(A)⊕A=_{{{∅}}，{∅，{∅}}}_.（其中P(A)表示A的幂集）
解析：A={∅，{∅}}，∅是空，即不含任何元素，因此∅-A=∅；P(∅) = {∅}，A-P(∅)={∅，{∅}}-{∅}={{∅}}；P(A)={ ∅，{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}} }，P(A)-{ ∅}={ {∅}，{{∅}}，{∅，{∅}} }；P(A)⊕A =（P(A)-A）∪（A-P(A)）={{{∅}}，{∅，{∅}}}∪∅ = {{{∅}}，{∅，{∅}}}
2、 按照无穷公理表示的自然数以及连续统假设，用最简洁的形式写出下列计算结果，其中N表示自然数集合，R表示实数集合。
∩30=____∅______,∩{18,27}=____18____,||=___
__,|
|=__
__
解析：该考点考的是自然数属于每个归纳集的集合和广义交运算。
∩30 = ∩{0，1，2，3，...,29} =∅∩ {0}∩{0,1}∩{0，1，2}∩...∩{0,1,2,3,4,...,28} = ∅
∩{18,27} = {0,1,2,3,...,17} ∩ {0,1,2,3,...,26} = {0,1,2,3,...,17} =18 =min(18,27)
（仅供参考）连续统假设，不存在比阿列夫零大，比阿列夫小的基数。自然数集合N的基数为 （阿列夫零），实数集合R的基数为
（阿列夫）
3、 将函数f(x)=()²(
)³ 展开后
系数是___495_____
解析：
根据牛顿二项式公式推广公式 ，则
要满足
,则k=8，从而系数为
4、 如果平面图和它对偶图是同构的，则称此平面图是自对偶的。若G是有n个顶点，m条边的自对偶图，求n和m满足关系式是___m=2n-2____（此关系不含有n和m以外的其他变量）
解析：对偶图满足图G与对偶图的点跟面数是一样的。同时满足欧拉公式
这里的 e=m, v=r=n, 代入可得m = 2n-2。
5、 设图G是共有10个顶点边数最多的三部图，则G有____24_________条边。
解析：如图下图示： 因此边数为 3*4*2 = 24。（这个题也有另外一种理解，边数最多是完全三部图，如果按完全三部图的形式计算 9+12+12=33，如果不考虑完全三部图的话，就按照括号外的答案。）
6、 有六对夫妇坐在一个圆桌旁，其中通过转圈得到的坐法视为相同的坐法，表示第i对夫妇坐一起，则同时满足
，
和
的坐法有_
___种。
解析：（之前的答案是我在抄写题目的时候漏抄了一个‘第’字，导致理解上的偏差，因此答案变成了），要同时满足
，即这样就说明这三对夫妻需要固定下来，于是把他们进行绑定与另外3对夫妻进行圆周排列，一起总数是9个元素，排列方法为
，其中绑定的那三对夫妻，让女士优先，每位丈夫在可以在妻子的左边或者右边因此有
，因此总数为
种。
三、计算题(要求写出详细运算步骤，共3分)
1、 有120个学生参加考试，共有A、B、C三道题。已知三道题都做对的有12个学生，作对A、B都有20个学生，做对A、C的有16个学生，做对B、C都有28个学生，做对A的有48个学生，做对B的有56个学生，有16个学生一道题也没有做对，试求仅做对C的学生有多少个？
解析：该题有两种方法：一种是容斥原理计算，另一种是文氏图法：
方法一： 先用容斥原理来解。
设做对题A的人数为|A|=48，做对题B的人数为|B|=56，做对题C的人数为|C|，全集|N|=120, 做对三道题的余集为16.
其中 |A| = 48，|B| = 56， |A∩B|=20，|A∩C|= 16， |B∩C|= 28， |A∩B∩C|= 12， 代入式子 可得 |C| = 104-12+20+16+28-48-56 = 52，题目中要求仅做对C的人数，
因此为 |C| - |A∩C| - |B∩C|+|A∩B∩C| = 52 - 16 - 28 + 12 = 20 即仅做对C的学生人数为 20 人。
方法二： 文氏图法： 总人数为120人，要求仅做对C的人数，即图中粉红部分的人数X = 120 -16-20-24-8-4-16-12 = 20 ，即仅做对C题的学生人数为20人。
四、解答题(共6分)
1、(3分)4名同学同时参加英语和德语面试，要求每门科目只能同时面试1人，2门科目面试时间先后顺序认为是不同的，试问共有多少种不同的面试次序？
解析：本题可以理解为4名学生以任意顺序去参加英 语面试，于此同时不能在同一时刻去参加德语面试，即原来某位的同学不能在同一位置上（错排问题）。因此该题的解为 。 关于错排可以用容斥原理来推,即
，不在原来的秩序位置上：
=9
2、(3分) 求满足递推关系中
的表达式，其中初始条件
。
解析：本题考的是常系数齐次递推关系，原式转换为 ，
因此特征方程为, 化简之后得到
,
解得两个特征根 ，无重根，
的通解为
,
把两个特征根和初始条件代入得到方程组：
，
解该方程组得 ，得
五、证明题(11分)
1、(3分)对非空集合A上的关系R，若R是非自反和传递的，证明R是反对称的。
证明：用反证法证明，假设结论R是反对称不成立，即R是对称的。
R是A上的反自反关系 ，
R是A上的传递关系
如果对任意 成立，则比存在
，与已知条件相矛盾。
显然<x,y>与<y,x>最多只能有一个属于R，所以R是A上的反对称关系。
2、(8分)设是n个顶点的完全图，用红、蓝两种颜色给
的边任意着色。
1)证明中至少存在一个顶点v，使得v关联红边个数不是3。
2)证明必有蓝色的或红色的
。
1)证明：用反正法证明。
假设将进行染色，每个点到其余8个点所成的边都是恰有3条关联的边为红色，现从每个端点统计各引出的红色边的总数应是3*9 = 27，但这是不可能的，因为每条边关联两个顶点，对这种统计，所有点引出的红色关联边的总数应为偶数，假设相矛盾,。因此必存在一点，从该点到其余各点的边染红色边数一定大于3或小于3，因此得证。
2)证明：设从向其余8个点引出的边中红边多于3条，即至少有4条，不妨设它们为
。让
构成
，若有一条红色边，则其两个端点与
构成红色三角形，即构成红色的
，否则这些边全为蓝色，这时
就构成了一个蓝色的
。
设从向其余8点的引出的边中，红色边数少于3条，即至多有2条，这时从
引出的蓝色边会有6条。不妨设这些边为
,让
所构成完全图
，若其中有一个红色三角形，则结论已真。若
中有个蓝色三角形，则该三角形的3个顶点连同
构成一个蓝色
，结论亦真。
综上所述得证。
