1.3、推理与证明

一、推理

1、推理定义

根据一个或几个已知的事实（或假设）得出一个判断的思维方式叫做推理。推理包括已知的事实（或假设）和未知的结论。推理的结论不一定正确。

2、归纳推理

根据一类事物的部分对象具有某些性质，推出这类事物的所有对象都具有这些性质的推理，叫做归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
一般步骤：观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质推出一个明确表达的一般性命题或结论。

3、类比推理

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）。类比推理是由特殊到特殊的一种推理。
一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或结论。

4、合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
一般步骤：①具体问题 $\rightarrow$ ②观察、分析、比较、联想 $\rightarrow$ ③归纳类比 $\rightarrow$ 提出猜想

5、演绎推理

概念:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
三段论：①大前提②小前提③结论
利用集合知识理解：
若集合M的所有元素都有性质P，S是M的一个子集，那么S中的所有元素也都具有性质P。

二、证明

1、综合法

利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的一种方法。
综合法的思维方向是“顺推”，即由已知条件出发，逐步推出其必要条件，最后推出要证明的结论成立。

2、分析法

分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后要把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）的一种方法。
分析法的思维方向是“逆求”，即由待证的结论出发，逐步逆求它要成立的充分条件,最后得到的充分条件已知（或已证）的命题。

3、反证法

反证法常见的矛盾形式
①与题设相矛盾；
②与假设相矛盾；
③与定义、定理、公式相矛盾；
④自相矛盾。
反证法适合的题型：
①命题简单明了，没有更多公理概念等依据可供提供的命题
②结论本身是以否定形式出现的一类命题
③有关结论是以“至多......”或“至少......”等形式出现的一类命题
④关于唯一性、存在性的命题
⑤结论的反面比原结论更具体、更容易研究和掌握
⑥已知条件很少或已知条件能推得的结论很少
⑦命题的结论以“无限”的形式出现时
⑧某些定理的逆定理
反证法证题的一般步骤
①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②归谬：从假设出发，经过推理论证得出矛盾；
③结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论的成立。
反证法常用的原结论词与反设词

原结论词	反设词	原结论词	反设词
至少有一个	一个也没有	对所有x成立	存在某x不成立
至多有一个	至少有两个	对任意x不成立	存在某x成立
至少有n个	至多有（n-1）个	p或q	非p且非q
至多有n个	至少有（n+1）个	p且q	非p或非q

4、数学归纳法

归纳法：由一系列的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法。是人们发现规律，产生猜想的一种方法。
数学归纳法步骤：
①（归纳奠基）证明当 $n_0$ 取第一个值时命题成立
②（归纳递推）假设n = k（ $k\geq n_0$ ,k∈ $N^*$ ）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立
只要完成这两个步骤，就可以判断命题对 $n_0$ 开始的所有正整数n都成立。
数学归纳法实用范围：只适用于证明与正整数集有关的数学命题。
数学归纳法常用场景
①证明数列相关问题
数列与数学归纳法有着非常密切的关系，数列是定义在正整数上的函数，这与数学归纳法运用范围是一样的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上也是一致的。数列的很多问题都可以用数学归纳法证明，如数列的通项，前n项和等。
②证明恒等式问题
③证明不等式问题
证明不等式问题时，要善于利用放缩法
④证明几何问题
尤其证明与边角等自然数n相关问题
⑤证明整除问题
⑥证明与n有关的问题

三、推理与证明是一种思想和工具

推理与证明的基础是观察分析比较联想，这是解决所有数学问题的基本思路，也是解决数学之外问题的一个思路。学习本章后，做任何问题，都需要建立一个思想，首先观察分析比较联想，然后再根据题目给出的条件和要达到的结论进行对接，从而化繁为简为易，轻松解决。任何难题，是由无数个简单的题组合而成。所以，数学的核心思想就是化繁为简为易，把复杂的问题简单化。博大精深的问题中其实蕴含无数个大道至简，无数个大道至简组合穿插就构成博大精深。做数学难题需要把难题分解成一个又一个简单的小问题分别解决即可。
研究数学问题的基本步骤，也体现在本章。其步骤为：
问题一般化，问题特殊化，推理猜想结论，证明结论。

四、例题分析

例1、数列 $a_0,a_1,a_2,……$ 满足： $a_0= \sqrt {3}$ , $a_{n+1}$ = $[a_n]$ + $\frac {1} {\{a_n\}}$ , $[a_n]$ 与 $\{a_n\}$ 分别表示 $a_n$ 的整数部分和小数部分，则 $a_{2008}$ 为多少？

用归纳推理，即可做出，分别求出 $a_0,a_1,a_2,a_3，a_4，a_5，a_6$ ，总结规律，即可求出答案：3012+ $\sqrt {3}$

例题2、求证 $\sqrt {2}$ 是无理数

证明：假设 $\sqrt {2}$ 不是无理数，则 $\sqrt {2}$ 是一个有理数
∃互质的整数m，n，使 $\sqrt {2}$ = $\frac{n} {m}$ ,
则 $2n^2=m^2$
∵ $m^2$ 为偶数，∴m为偶数
则∃ k∈z， m = 2k
∴ $(2k)2=2n^2$
即 $n^2=2k^2$
∴ $n^2$ 为偶数，
∴n为偶数
m、n均为偶数与m、n互质相矛盾！
∴假设不成立，原命题成立
扩展：本题用反证法证明较为容易，否则难以说明。
同样方法，可以证明 $\sqrt {3}, \sqrt {5} ,\sqrt {7}, \sqrt {11}$ 为无理数。

例题3、若下列三个方程:
$x^2+4ax-4a+3=0$
$x^2+(a-1)x+a^2=0$
$x^2+2ax-2a=0$
中至少有一个方程有实根，试求a的取值范围。

本题重在思维，用反证法的思维。
先求出三个方程都没有实数根的a的取值范围
此范围的补集即答案：(-∞，- $\frac{3} {2}$ ),(-1,+∞)

例题4、已知函数f(x)是(-∞,+∞）上的增函数，a，b∈R，
(1)证明命题:若a+b $\geq0$ ,则f(a)+f(b) $\geq$ f(-a)+f(-b);
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论

(1)证明： $a+b\geq0$ ，∴ $a \geq -b$
∵函数为增函数，∴ $f(a)\geq f(-b)$ ①
同理， $b \geq -a$ ，∴ $f(b)\geq f(-a)$ ②
①+②可得 $f(a)+f(b)\geq f(-a)+ f(-b)$
(2) 逆命题为：若 $f(a)+f(b) \geq f(-a)+f(-b)$ ，则 $a+b\geq0$ ;
证明：假设 $a+b<0$
同理可证得 $f(a)+f(b) <f(-a)+f(-b)$
这与题设 $f(a)+f(b) \geq f(-a)+f(-b)$ 相矛盾
∴ $a+b<0$ 不成立，故 $a+b\geq0$ 成立
即逆命题成立
本题要善于利用反证法证明第二问