样本相似性度量（欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、闵可夫斯基距离、标准化欧氏距离）
简书的 Makedown 语法支持比较差，有些语法支持不好，可以看 CSDN 的 样本相似性度量（欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、闵可夫斯基距离、标准化欧氏距离）
在分类过程中，常常需要估算不同样本直接的 Similarity Measurement （相似性度量）。
此时常用的方法就是计算两个样本直接的 Distance（距离）。
常用方法有：
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- 欧几里得距离（Euclidean Distance）
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欧几里得距离（Euclidean Distance），简称欧氏距离，又称欧几里得度量（euclidean metric）。
指 m 维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。
在欧几里得空间中，点 和
之间的欧几里得距离为：
当 点为原点时，即为向量
的自然长度（该点到原点的距离）。
向量 的自然长度：
由 维空间的欧几里得距离公式可以推出：
二维平面上两点 与
间的欧几里得距离：
三维空间两点 与
间的欧几里得距离：
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- 曼哈顿距离（Manhattan Distance）
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计程车几何 (Taxicab geometry) 或曼哈顿距离 (Manhattan distance or Manhattan length) 或方格线距离是由十九世纪的赫尔曼 · 闵可夫斯基所创辞汇，为欧几里得几何度量空间的几何学之用语，用以标明两个点上在标准坐标系上的绝对轴距之总和。
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如上图，从右上角的黑点到左下角的黑点的最小距离是？
是红色线的欧几里得距离？
显然是错误的。在这样的空间里，欧几里得距离计算最小距离是不合适的。
需要采用新的距离计算方式 —— 曼哈顿距离
在 N 维空间中，点 和
之间的曼哈顿距离为：
二维平面两点 与
间的曼哈顿距离：
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- 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）
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在 维空间中，点
和
之间的切比雪夫距离为：
二维平面两点 与
间的切比雪夫距离：
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- 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）
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闵可夫斯基距离（Minkowski Distance），简称闵氏距离。
它是一组距离的定义。
设定两点：
直接的闵可夫斯基距离为：
那么 的常用取值为
或
。
即为曼哈顿距离：
即为欧几里得距离：
取无穷时极限情况下可以得到切比雪夫距离：
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- 标准化欧氏距离（Standardized Euclidean distance）
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标准欧氏距离的定义：
标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。
标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都 “标准化” 到均值、方差相等吧。
均值和方差标准化到多少呢？
假设样本集 的均值 (mean) 为
，标准差(standard deviation)为
，那么
的 “标准化变量
” 表示为：
而且标准化变量的数学期望为 ，方差为
。因此样本集的标准化过程 (standardization) 用公式描述就是：
标准化后的值 = (标准化前的值 － 分量的均值) / 分量的标准差
经过简单的推导就可以得到两个 n 维向量 与
间的标准化欧氏距离的公式：
如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离 (Weighted Euclidean distance)。
如果使用长宽比为 的二维矩形作为单元大小，那么使用标准欧式距离公式为：
