2016年文数全国卷A题18（12 分）
如图，已知正三棱锥 的侧面是直角三角形，
. 顶点
在平面
内的正投影为点
在平面
内的正投影为点
，连接
并延长交
于点
（Ⅰ）证明∶ 是
的中点;
（Ⅱ）在图中作出点 在平面
内的正投影
（说明作法及理由），并求四面体
的体积.
【解答第1问】
由已知条件可知： 是正三角形； 点
是
的中心.
面
,
面
.
∵ 面
,
面
, ∴
,
∵ 面
,
面
, ∴
, 而
,
∴ 面
.
又∵ 面
, ∴
又∵ , ∴
是
的中点. （三线合一）
【解答第2问：思路一】
作 中点
, 并连接
.
∵ 是
中点，
是
的中点, ∴
是
的中位线，
∵ 正三棱锥 的侧面是直角三角形，∴
,
∴ .
∵ 点 是点
在平面
内的正投影点，∴
, ∴
, ∴
∵ 点 是点
在平面
内的正投影点，∴
, ∴
, ∴
∴ .
【解答第2问：思路二】
∵ 正三棱锥 的侧面是直角三角形，∴
.
以点 为原点，分别以
为
轴，建立空间直角坐标系. 因为
, 所以
三点的坐标分别为：
.
点 是
的中心，其坐标为
点 是点
在
平面（平面
）上的正投影，其坐标为
;
点 是点
在
平面（平面
）上的正投影，其坐标为
;
所以，点 就在棱
上，且
.
【提炼与提高】
这是一个非常有意思的考题。2010至2015年间的全国卷给人留下这样的印象：理科的立体几何大题经常需要动用向量工具解决；文科题几乎从来用不到向量工具。
2016年这个文科题，如果不用向量也是可以解决的。但是，如果用向量来解决却显得格外地简洁。
另外，在多数题目中，总有一个坐标轴是竖直的，总有一个坐标平面是水平的。无形中会千万一种思维定势。这个题打破了这样一种思维定势。坐标平面不一定是水平的， 轴也可以是斜着的。关键是：三个坐标轴必须是两两垂直的；而且选择坐标轴时应该尽可能地降低计算量。
由1个等边三角形与3个等腰直角三角形围成的四面体，是很常见的一种四面体，在高考中出场率极高。一定要把它玩熟。
这样一个四面体的特点是：有三条棱长度相等，而且两两垂直。它可以认为是从正六面体上切下来的四面体。
【回归教材】
请参考以下课本题：人教版《数学-必修2》第二章复习参考题B组第2题（p79）.
