人工智能通识-科普-穷举法求抛物线面积

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对于图中的抛物线 $y=1-x^2$ ，如何求出蓝色部分面积？

人工智能通识-2019年3月专题汇总

几何级数Geometric series

几何级数就是指以固定比例持续增加的一组数字，类似 $1,r,r^2,r^3,r^4,r^5....r^n$ ，后一项总是前一项乘以 $r$ ，所以这样的数列就叫做几何级数,比如 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}...$ 。

怎么求和？

$\sum_{k=0}^\infty r^k=？$

利用补项相减法计算过程如下：
$\begin{align} s&=1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^{n-1} \\ rs&=r + r^2 + r^3 + r^4 + r^{n-1} + r^n\\ s-rs&=1 -r^n\\ s(1-r)&=1-r^n\\ s&=\frac{1-r^n}{1-r}\\ \end{align}$
所以当 $|r|<1$ ，也就是 $r$ 是绝对值小于1的正分数或负分数时候，当 $n$ 趋近无穷大的时候， $r^n$ 趋近无穷小接近0，那时候 $1-r^n$ 就趋近于1，就得到：
$1 + r + r^2 + r^3 + r^4 +...=\frac{1}{1-r} \qquad\qquad ( |r|<1)$

比如：
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}...=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

三角形的面积

我们都知道三角形的面积是底乘以高除以2，但换一种看法，在下图中，黄色三角形被中间的竖线NRQP分成左右两个小三角形，大黄色三角形面积就可以表示为左侧三角形MNQ和右侧三角形NQK面积之和。

即：
$\begin{align} \triangle MNK&=\triangle MNQ+\triangle NQK\\ &=\frac{1}{2}NQ\times MP+\frac{1}{2}NQ\times MP\\ &=\frac{1}{2}NQ\times (MP+RK)\\ &=\frac{1}{2}NQ\times MT \end{align}$

也就是说，黄色三角形面积等于中间竖线与三角形相交的NQ乘以横向总宽度MT的一半。

抛物线下的面积

好了，我们回到一开始的问题，蓝色面积怎么求？

如图，先看左半部分，我们连接AC得到三角形 $\triangle ABC$ ，这是个直角边为1的45度直角三角形，面积是 $\frac{1}{2}$ 。

再看绿色部分 $\triangle AEC$ ，根据上面我们的经验，它的面积等于 $\frac{1}{2} \times ED \times AB$ 。这里AB是1可以忽略。ED长度是多少？

注意到 $\triangle ADF$ 和 $\triangle ACB$ 是相似三角形，所以
$\frac{CB}{AB}=\frac{DF}{AF}$
即：
$DF=AB \times \frac{DF}{AF}=1/2$
同时，F点横向是 $-\frac{1}{2}$ ，根据函数 $y=1-x^2$ 得到E点的高度是 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ 。所以ED是 $\frac{1}{4}$ ， $\triangle AEC$ 面积是 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times 1=\frac{1}{8}$ 。