行测之数量关系

知识点1：整除法

方法描述

整除法主要通过题干所给的信息，判断结果应具备的整数特性，从而排除选项。如：已知甲乙两个班的人数之比为 3:5 ，……，求甲班人数。根据题干中的比例，可知甲班的人数一定是 3 的倍数，结合选项，可优先排除不是 3 的倍数的选项。
适用题型

平均分配物品
三量关系

常用数字的整除判定

局部看

 ①一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除；</br>
 ②一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除；</br>
 ③一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除。

整体看

  ①一个数各位数字之和能被 3 或 9 整除，这个数就能被 3 或 9 整除。
  ②如果一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除。（适用于四位数或者四位以上的大数字）
  ③奇数位上数字和与偶数位上数字和之差能被 11 整除的数能被 11 整除。

其他合数

可质因数分解合数

将该合数进行因式分解，能同时被分解之后的互质因数整除。如 $12=3\times4$ ，3 和 4 没有公约数，互质，则能被 3 和 4 整除的数都能被 12 整除。
拆分法

要验证一个数是否为 m 的整数倍，只需将该数分解为 m 的若干倍 $\pm$ 较小数 n。若 n 能被 m 整除，则该数能被 m 整除。例如：683 能否被 13 整除。 $683-13\times50=33$ 。33 不能被 13 整除，故 683 不能被 13 整除。

举个栗子

例1：某公司研发出了一款新产品，当每件新产品的售价为3000元时，恰好能售出15万件。若新产品的售价每增加200元时，就要少售出1万件。如果该公司仅售出12万件新产品，那么该公司新产品的销售总额为：
A.4.72亿元 B.4.46亿元 C.4.64亿元 D.4.32亿元
【解析】方法一：整数特性： $销售额=销量\times 单价$ 。由于销量等于 12 万件，单价等于 $3000+200\times(15-12)=3600$ 也为整数。故销售额为 12 的倍数，则选项能同时整除 3 和 4 即为正确答案。A 选项不能整除 3。B 选项不能整除 3，C 选项也不能整除 3。故选 D。
方法二：普通计算。单价等于 $3000+200\times(15-12)=3600$ 。 $12万\times0.36万=4.32$ 亿元。

知识点2：余数型

方法描述

如果 $答案=ax \pm b$ ，那么 $答案\pm b$ 能被 $a$ 整除。（ $a$ 、 $x$ 均为整数）。
适用场景

余数类问题：题干含有“剩”、“余”和“缺”等关键字。
举个栗子

例1：

知识点3：比例计算

方法描述

如果 $A:B=m:n$ (m 与 n 互质)。那么 A 是 m 的倍数；B 是 n 的倍数； $A+B$ 是 $m+n$ 的倍数； $A-B$ 是 $m-n$ 的倍数。
比例常见形式

分数：男生人数是女生的 $\frac{3}{5}$ 。
百分数：男生人数是女生人数的 60%。
比例：男生人数与女生人数的比例是 3：5。
倍数：男生人数是女生人数的 0.6 倍。

相关知识

若某个量占其他量总和的 $\frac{1}{n}$ ，则该量占总量的 $\frac{1}{n+1}$ 。

举个栗子

例1：（2020 上海）甲乙丙丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一半，乙带的钱是另外三个人的 $\frac{1}{3}$ ，丙带的钱是另外三个人的 $\frac{1}{4}$ ，丁带了91元，他们一共带了（ ）元。
 A.364 B.380 C.420 D.495
【解析】注：一定要注意求的是甲乙丙占总钱数的比例。 甲的钱占总数的 $\frac{1}{3}$ ，乙的钱占总数的 $\frac{1}{4}$ ，丙带的钱是总数的 $\frac{1}{5}$ 。故钱总数能被 3、4 和 5 整除。选择 C。

例2：（2019 青海）林华全家是阅读爱好者，家里有各种书籍，版本也多。已知他家有五分之三的书是中文版的，六分之一是英文版的，八分之一是中英文互译版的，还有多于11本但少于17本是其它版本的，问他家有多少本英文版书？
 A.72 B.20 C.15 D.13
【解析】已知总书数是 5、6、8 的公倍数，使用代入排除法：

选项A 选项B 选项C 选项D

书总数 $72\times6=432$ $20\times6=120$ $15\times6=90$ $13\times6=78$

5、6和8的公倍数 × ✓ × ×

例3：调酒师调配鸡尾酒，先在调酒杯中倒入120毫升柠檬汁，再用伏特加补满，摇匀后倒出80毫升混合液备用，再往杯中加满番茄汁并摇匀，一杯鸡尾酒就调好了。若此时鸡尾酒中伏特加的比例是 24%，则调酒杯的容量是（）毫升。
 A.160 B.180 C.200 D.220
【解析】方法一：根据 $浓度=\frac{溶质}{溶液}$ 。有 $\frac{剩余伏特加}{杯容量}=24 \\%=\frac{6}{25}$ 。故杯容量为 25 的倍数，只有 C 选项符合。
方法二：设调酒杯的容量为 $x$ 毫升。有 $\frac{\frac{x-120}{x} \times \(x-80)}{x}=24\\%$ 。解或者代入选项可知选项 C 正确。

例3：（2018 国考）某公司按1:3:4的比例订购了一批红色、蓝色、黑色的签字笔，实际使用时发现三种颜色的笔消耗比例为1:4:5。当某种颜色的签字笔用完时，发现另两种颜色的签字笔共剩下100盒。此时又购进三种颜色签字笔总共900盒，从而使三种颜色的签字笔可以同时用完。问新购进黑色签字笔多少盒？
 A.450
 B.425
 C.500
 D.475
【解析】方法一：先明确红蓝黑三种笔那种先用完。在购买的笔中红色笔占 $\frac{1}{8}$ 大于实际消耗的 $\frac{1}{10}$ ，黑色笔购买 $\frac{4}{8}$ 等于实际消耗的 $\frac{5}{10}$ 。只有蓝色笔实际购买小于消耗。故蓝色笔先用完。设实际购买一份为 $x$ ，实际消耗一份为 $y$ 。则有： $\begin{cases} 8x-10y=100\\\ 3x=4y\\\ \end{cases}$ 解得 $x=200$ ， $y=150$ ，故红笔剩 $200-150=50$ ，黑笔剩 $4 \times 200-5 \times 150=50$ 。购买 900 盒后共有 1000 盒，此时要全部用完黑笔有 $1000 \times \frac{1}{2}=500$ ，由于还剩黑笔 50 盒，故新购 $500-50=450$ 。选 A。
方法二，由方法一知蓝笔先用完。就说明存在一个比例，使购进的蓝笔数与消耗的蓝笔数相同，这个时候的比例就为实际购入与实际消耗的数量比。等比例缩小到蓝色购进与蓝色消耗相同的最小公因数时，购入份数与消耗份数相同。取 3 和 4 的最小公倍数 12。实际购入比例为 4：12：16。实际消耗为 3：12：15。设每份为 $x$ ，此时红笔剩余与黑笔剩余比为 1：1。即 $x+x=100$ 。则红笔和黑笔各 50，总数 1000，则黑应有 500，减去剩余的 50，为450。

	选项A	选项B	选项C	选项D
书总数	$72\times6=432$	$20\times6=120$	$15\times6=90$	$13\times6=78$
5、6和8的公倍数	×	✓	×	×

知识点4：赋值法

适用范围

给比例（百分数、倍数、分数），求比例的和差倍比问题
，至多给一个（为具体量，比值不算具体量）
- 工程问题： $总量=效率\times时间$
- 行程问题： $路程=速度\times时间$
- 溶液问题： $溶质=溶液\times浓度$
- 经济利润： $利润=成本\times利润率$
- 平均数问题： $总数=平均数\times数量$

赋值方法

给比例型
- 信息量最大化——赋值高频词
- 方便计算
型
- 赋值数量：①给一个，赋一个；②都没给，赋一个，设一个为 X。
- 赋值对象：①没有限制，赋不变量；②有限制，赋限制量。
- 赋值三步走：①定三量；②看给啥；③再赋值。

举个栗子

例1：（2018 联考吉林）某仓库存放三个厂家生产的同一品牌洗衣液，其中甲厂生产的占 20%，乙厂生产的占 30%，剩余为丙厂生产的，且三个厂家的次品率分别为 1%，2%，3%，则从仓库中随机取出一件是次品的概率为：
 A.1.6% B.1.3% C.1% D.2%
【解析】题干全是比例，故使用赋值法。赋总量为 1000，则甲有 2 件次品，乙有 6 件次品，丙有 5 件次品。故随机取出一件是次品的概率为 $\frac{2+6+5}{1000}=0.013$ 。故选择 B。

例2：某单位男女员工的人数之比是15:13。按人数之比5:7:8，分为甲、乙、丙三个科室，其中甲科室男女员工的人数之比为4:3，乙科室为5:2。则丙科室男女员工人数之比为：
 A.1：2 B.2：3 C.5：9 D.5：8
【解析】给比例求比例，使用赋值法。因为男女人数之比为 15:13，则总人数为 28 的倍数。又因为将总人数按 5:7:8 分给三个科室，则总人数还为 20 的倍数。赋值总人数为 28 与 20 的最小公倍数 140。则男生有 75 人，女生有 65 人，甲科室有 35 人，乙科室有 49 人，丙科室有 56 人。甲科室男女人数分别为 20 和 15 人，乙科室男女人数分别为 35 和 14 人，则丙科室男女人数分别为 75-20-35=20 和 65-15-14=36 人。则男女比为 5:9。故选择 C 项。

例3：浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%，再加入同样多的水后，浓度为多少：
 A.9% B.7.5% C.6% D.4.5%
【解析】溶液问题： $溶质=溶液\times浓度$ 。只有一个具体量且无限制，固定量为溶质质量。设溶质质量为 15 和 10 的最小公倍数 30。则第一次溶液质量为 $\frac{30}{15}=200$ ，第二次溶液质量为 $\frac{30}{10%}=300$ 。故加水为 $300-200=100$ ，再加入同样多的水后溶液质量为 $300+100=400$ ，浓度为 $\frac{30}{400}=0.075$ 。故浓度为7.5%，选择 B。

例4：甲、乙、丙和丁四辆载重不同的卡车运输一批货物。其中甲的载重是乙的2倍、是丙的3倍、是丁的1.5倍。如果甲和丁一起运货，各跑10次正好能运完所有货物。如果乙和丙一起运货，且乙每小时运一趟、丙每半小时运一趟，问需要多少小时才能运完所有货物？
 A.14 B.14.5 C.15 D.15.5
【解析】 $货物总量=载重量\times次数$ ，知道具体值次数为 10，载重量为限制值，赋值限制量。故赋值甲的载重量为 2、3 和 1.5 的最小公倍数 6。则乙的载重量为 3，丙的载重量为 2，丁的载重量为 4。则货物重量为 $10\times(6+4)=100$ 。现在由乙和丙一起运且每小时运货量为 $3+2\times2=7$ ，则需要 $\frac{100}{7}=14…2$ ，而丙半小时的运货量恰好为 2。故需要 14.5 小时，选择 B。

例5：（2017 国考）某商铺甲、乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要10小时，乙组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做300朵。问这批花有多少朵？
 A.600 B.900 C.1350 D.1500
【解析】给定完工时间型工程问题。设工程总量为 15 和 10 的最小公倍数 30。则甲的效率为 3，乙的效率为 2。则有 $3t+2(t-\frac{5}{3})=30$ → $t=\frac{20}{3}$ 。则甲做了 20 朵，乙做了 10 朵，则甲比乙多做 10 朵对应题干 300。则一份为 30，故总量为 $30\times30=900$ 。故选择 B。

例6：（2015 山东省）商场里某商品成本上涨了20%，售价只上涨了10%，毛利率（利润/进货价）比以前下降了10个百分点。问原来的毛利率是多少？
 A.10% B.20% C.30% D.40%
【解析】三量关系一个都没给，则赋值一个，设一个为未知数，有：

成本售价利润利润率

现在 120 1.1x 1.1x-120 $\frac{1.1x-120}{120}$

原来 100 x x-100 $\frac{x-100}{100}$

则有： $\frac{x-100}{100}-\frac{1.1x-120}{120}=10\\%$ → $x=120$ 。则原来的利润为 $\frac{120-100}{100}=20\\%$ ，故选择 B。

	成本	售价	利润	利润率
现在	120	1.1x	1.1x-120	$\frac{1.1x-120}{120}$
原来	100	x	x-100	$\frac{x-100}{100}$

知识点5：代入排除法

适用场景

特定题型：年龄问题、余数问题（题干含有“剩”、“余”和“缺”等关键字）、不定方程、多位数
选项信息充分（分别/各）：选项为一组数
选项剩二选一：排除后只剩两项代入验证

使用方法

先排除：奇偶性、倍数特性、尾数
再代入：最值原则、好算原则

举个栗子

例1：（2018 浙江）已知今年小明父母的年龄之和为76岁，小明和他弟弟的年龄之和为18岁。三年后，母亲的年龄是小明的三倍，父亲的年龄是小明弟弟的四倍。问小明今年几岁？
 A.11 B.12 C.13 D.14
【解析】方法一：设三年后小明的年龄为 $x$ ，弟弟的为 $y$ ，则有： $3x+4y=82$ 。由 $3x+4y=82$ 可知， $3x$ 为 2 的倍数，故 x 为偶数。由于 $x$ 是小明三年后的年龄，故正确选项应为奇数。排除 B、D 选项，若正确选项为 A，则有 $3 \times (11+3) +4 \times (7+3)=42+40=82$ 满足条件。故选A。
方法二：表格法代入排除：

| | 小明 | 弟弟 | 母亲 | 父亲|父亲与母亲年龄和|
|---|---|---|---|
|今年|11|18-11=7| | | |
|三年后|14|10| $14\times3=42$ | $10\times4=40$ |42+40=82|
故代入 A 选项满足题干，选择 A。
方法三：方程法：设今年小明的年龄为 $x$ ，弟弟的为 $y$ ，得出下列方程并求解： $\begin{cases} x+y=18\\\ 3\times(x+3)+4\times(y+3)=82\\\ \end{cases}$ 解得： $\begin{cases}x=11\\\ y=7\\\ \end{cases}$

例2：（2019深圳）某公司组织所有员工分乘一批大巴去旅游，要求每辆大巴乘坐员工人数不超过35人。若每车坐28人，则有1人坐不上车；若开走1辆空车，则所有员工恰好可平均分乘到各车。该公司共有员工（）人。
 A.281 B.589 C.841 D.981
【解析】代入排除法：

公司总人数 281 589 841 981

$总车辆=\frac{总人数-1}{28}$ 10 21 30 35

平均分乘车辆=总车辆-1 9 20 29 34

能否被整除 × × ✓ ×

故选 C。

例3：某食品厂速冻饺子的包装有大盒和小盒两种规格，现生产了11000只饺子，恰好装满100个大盒和200个小盒。若3个大盒与5个小盒装的饺子数量相等，则每个小盒与每个大盒装入的饺子数量分别是：
 A.24只 40只 B.30只 50只 C.36只 60只 D.27只 45只
【解析】方法一：不定方程法：设小盒装 $x$ ，大盒装 $y$ 。则有 $200x+100y=11000$ 。化简有 $2x+y=110$ 。 $y$ 为偶数，排除选项 D。由于A、B和 C 选项中大盒尾数均为 0。故小盒尾数也为 0。则只有 B 项满足。
方法二：直接代入排除，以 A 、B 项为例 $24\times200+40\times100=8800$ 不满足。 $30\times200+50\times100=11000$ 满足选择 B 项。

公司总人数	281	589	841	981
$总车辆=\frac{总人数-1}{28}$	10	21	30	35
平均分乘车辆=总车辆-1	9	20	29	34
能否被整除	×	×	✓	×

知识点6：普通方程法

解题步骤

找等量关系：和、差、倍、比
设未知数：①设小不设大（减少分数计算）；②设中间量（方便列式）；③同等条件下，问谁设谁（避免陷阱坑）；④出现比例设份数（减少分数计算）。
列方程
解方程

举个栗子

知识点7：十字交叉法（线段法）

特征

十字交叉法解决的是比值混合问题，比值指的是 $\frac{A}{B}$ （如平均数、利润率和浓度等），混合指的是分子分母可加和。部分比值 $\frac{A_1}{B_1}$ 、 $\frac{A_2}{B_2}$ 。整体比值为 $\frac{A_1+A_2}{B_1+B_2}$ 。
十字交叉解题步骤

找出各部分比值 a、b 和整体比值 r；
各部分比值与总体比值交叉作差分别得到 $a-r$ ， $r-b$ 。
利用比例关系求解： $\frac{r-b}{a-r}=\frac{A}{B}$ 。

十字交叉图如下：

其中比值 a 对应的实际量是 A。实际量对应的部分比值实际意义的分母，如 $浓度=\frac{溶质的质量}{溶液的质量}$ ，那么实际量对应的就是溶液的质量； $平均分=\frac{总分数}{总人数}$ ，则实际量对应的就是人数。

线段法解题步骤
- 混合之前写两边，混合之后写中间。
- 距离和量成反比，看好份数认真算。
适用类型
- $浓度（\\\%）=\frac{溶质}{溶液}$
- $利润率（\\\%）=\frac{利润}{成本}$
- $折扣（\\\%）=\frac{售价}{原价}$
- $占比（\\\%）=\frac{部分量}{总量}$
- $增长率（\\\%）=\frac{增长量}{基期量}$
- 平均数
举个栗子

例1：（2013 浙江）某商店的两件商品成本价相同，一件按成本价多25%出售，一件按成本价少13%出售，则两件商品各售出一件时盈利为多少?
 A.6% B.8% C.10% D.12%
【解析】方法一：十字交叉法。设两件商品各售出一件时盈利为 $x$ ，两件商品的成本相同，则成本之比为 1。有 $\frac{25\\\%-x}{x-13\\\%}=1$ → $x=6\\\%$ ，选择 A。
方法二：线段法。一件利润率为 $25\\\%$ ，另一件利润率为 $-13\\\%$ 。则各售出一件时利润率在 $-13\\\%$ 到 $25\\\%$ 之间。成本之比为 $1：1$ ，故距离之比为 $1：1$ 。故在 $-13$ 与 $25$ 的中点处。为 $6\\\%$ ，选择 A。
方法三：赋值法。给比例求比例，假设成本为 100，一件盈利为 25，一件亏 13。两件共盈利 12。成本为 200，利润率为 $\frac{12}{200}=6\\\%$ ，选择 A。

例2：（2014 联考）学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80元和100元。由于购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付了22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少：
 A.4：5 B.5：6 C.6：5 D.5：4
【解析】线段法： $折扣=\frac{总售价}{总原价}$ ，假设足球买了 $a$ 个，篮球买了 $b$ 个。则有总原价之比为距离的反比 $\frac{80a}{100b}=\frac{2}{3}$ ，解得 $\frac{a}{b}=\frac{5}{6}$ ，选择 B。

例3：（2016 联考）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的 30%，且音乐系男女生人数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3。问音乐系和美术系的总人数比为多少？
 A.2：1 B.1：2 C.2：3 D.3：2
【解析】音乐系男生占比 25%，美术系男生占比 40%，混合之后男生占比 30%。则距离之比等于各部分总量的反比， $\frac{音乐系总人数}{美术系总人数}=\frac{10}{5}=\frac{2}{1}$ ，选择 A。

例4：（2018 江苏）某高校组织省大学生运动会预选赛，报名选手中男女人数之比为4：3，赛后有91人入选，其中男女之比为8：5。已知落选选手中男女之比为3：4，则报名选手共有：
 A.98 人 B.105 人 C.119 人 D.126 人
【解析】落选与入选混合之后为总人数，入选男生占比为 $\frac{8}{13}$ ，落选男生占比为 $\frac{3}{7}$ ，混合后男生占比为 $\frac{4}{7}$ ，设落选总人数为 $x$ ，有 $\frac{x}{91}=\frac{\frac{8}{13}-\frac{4}{7}}{\frac{4}{7}-\frac{3}{7}}$ → $x=28$ ，故总人数为 $91+28=119$ ，选择 C。
1：1等量混合
例5：（2018 国考）甲商店购入400件同款夏装。7月以进价的1.6倍出售，共售出200件；8月以进价的1.3倍出售，共售出100件；9月以进价的0.7倍将剩余的100件全部售出，总共获利15000元。问这批夏装的单件进价为多少元？
 A.125 B.144 C.100 D.120
【解析】8 月与 9 月总成本相同，利润分别为 30% 和 -30%，等量混合之后利润为 $\frac{30\\\%-30\\\%}{2}=0$ ，故 8 月和 9 月没有盈利。再将 8 月 9 月的混合与 7 月混合，总成本均为 200 件的价格，故利润为 $\frac{60\\\%+0}{2}=30\\\%$ ，设总成本为 $x$ ，有 $x \times 30\\\%=15000$ → $x=50000$ ，单件成本为 $\frac{50000}{400}=125$ ，选择 A。
混合居中
例6：（2017 联考）甲乙两队举行智力抢答比赛，两队平均得分为92分，其中甲队平均得分为88分，乙队平均得分为94分，则甲乙两队人数之和可能是:
 A.20 B.21 C.23 D.25
【解析】甲乙人数之比为 1：2，则甲乙总人数为 3 的倍数，仅有 B 项满足。

知识点8：余数类问题

题型特征

出现 “剩”、“余” 或 “缺” 等关键词。
解题方法

使用代入排除法。满足题干所有条件的为正确选项，存在至少一个条件不满足的选项为错误选项。
举个栗子

知识点9：鸡兔同笼类问题

题型特征

已知两个主体的两个属性的指标数及指标总数，求两个主体的个数。如：有若干只鸡和兔子，他们共有 35 个头，94 只脚，鸡和兔子各有多少只？两个主体是指鸡和兔子；两个属性是指头和脚；指标数：一只鸡有一个头和两只脚，一只兔子有一个头和四只脚；指标总数：共有 35 个头、94 只脚。
解题方法

利用假设法求解，假设全是 A，求得结果 B。对于上述问题有如下解法：
假设全部为鸡，则应该只有 $35\times2=70$ 只脚，然而实际有 94 只，则剩余的 $94-70=24$ 只脚为将兔子算为两只脚差的数量。则共有 $24\div2=12$ 只兔子，则鸡为 $35-12=23$ 只。同理假设全为兔子，有 $35\times4=140$ 只脚，超出的为多算鸡的脚为 $140-94=46$ 只。则鸡为 $46\div2=23$ 只，兔子为 $35-23=12$ 只。
举个栗子

例1：（2008年国考）某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资 10 元，每做一个不合格零件将被扣除 5 元，已知某人一天共做了12个零件，得工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格零件：
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】假设 12 个零件全为合格零件，共得 $12\times10=120$ 元。差 $120-90=30$ 元。而不合格一个零件，少得合格的 10 元以及扣款 5 元共 15 元，故不合格的有 $30\div15=2$ 个。

知识点10：等差数列

定义

从第二项起，每一项与前一项之差为一个常数，这样的数列称为等差数列，这个数称为公差，记为 d。
公式

记第一项为 $a_1$ ，第 n 项为 $a_n$ ，第 m 项为 $a_m$ ，则有：
- 通项公式： $a_n=a_1+$n-1$ \times d$ ， $a_n=a_m+$n-m$ \times d$ 。
- 求和公式： $S_n=a_1n+ \frac{n$n-1$}{2} \times d=\frac{a_1+a_n}{2} \times n=na_中$
举个栗子

知识点11：等比数列

定义

从第二项起，每一项与前一项之比为一个常数，这样的数列称为等比数列，这个常数称为公比，记为 q。
公式

记第一项为 $a_1$ ，第 n 项为 $a_n$ ，第 m 项为 $a_m$ ，则有：
- 通项公式： $a_n=a_1q^{n-1}=a_mq^{n-m}$
- 求和公式： $S_n= \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ （ $q\neq1$ ）
举个栗子

知识点12：不定方程

概念

未知数的个数多于独立方程的个数。
解方程技巧

数的特性

① 整除关系： 若方程中的未知量系数和常数均是某个数的倍数，则可通过整除关系求解。如：求 $5x+6y=21$ 的正整数解。 $6y$ 和 21 都是 3 的倍数，则 $5x$ 也一定能被 3 整除，因为 5 不能被 3 整除，故 $x$ 能被 3 整除，即 $x$ 可取 3，对应的 y 取 1。换项有 $5x=3$2y+7$$ ，故 $5x$ 能被 3 整除。
② 奇偶性： 求 $5x+6y=21$ 的正整数解。 $6y$ 为偶数，21 为奇数，则 $5x$ 一定是奇数，则 $x$ 可取 1、3，从而求出 y 的值。
③ 尾数法： 未知量前的系数是以 0 或 5 结尾的数时可以使用。如：求 $5x+6y=21$ 的正整数解。 $5x$ 的尾数只能为 0 或 5，故 $6y$ 的尾数必须为 1 或 6。又因为 $6y$ 为偶数，故尾数不可能为 1。所以 $6y$ 的尾数只能为 6，则 $y$ 可取 1， $x$ 为 3。
代入排除

直接将选项代入题干，看那个选项符合题干要求。

不定方程组

未知数一定是整数的不定方程组

先消元转化为不定方程，按照不定方程求解。
未知数不一定为整数的不定方程组
根据题意能列出三元一次方程组，而此时两个方程三个未知数，意外着方程组有无穷组解。题目没有要求我们求具体的解，而是求未知数之和，也就是说虽然有无穷组解，但每组解的未知数之和是确定的。所以此时我们只需求出无穷组解的某一组求和就能得到答案。最简单的就是令其中一个未知量为 0 进行求解。

举个栗子

例1：（2013山东）某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元。已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导？
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】设领导有 $x$ 人，员工有 $y$ 人，则有 $50x+20y=320$ ，化简得 $5x+2y=32$ ，根据整除关系可知 $5x$ 能被 2 整除，故 $x$ 为偶数，排除 A、C 选项，代入 D 项，领导 4 人，则员工 6 人。一共 10 人，不满足该部门总人数超过 10 人。故领导为 2 人。

知识点13：牛吃草类问题

问题描述

牛吃草问题又称牛顿问题，因由牛顿提出而得名。题目大意为：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给 10 头牛吃，可以吃 22 天，或者供给 16 头牛，可以吃 10 天，期间一直有草生长。如果供给 25 头牛吃，可以吃多少天?
解题思路

$原有草量=$牛每天吃掉的草-每天生长的草$ \times 天数$ ，一般设每头牛每天吃草量为 1 来简化计算。
常见考法

一片牧场可供 $n_1$ 头牛吃 $t_1$ 天，可供 $n_2$ 头牛吃 $t_2$ 天。设每头牛每天吃草量为 1。
- 追及型：若牧草每天均匀生长，每天生长速度为 $x$ ，则有 $$n_1-x$t_1=$n_2-x$t_2$
- 相遇型:若牧草每天均匀减少，减少速度为 $x$ ，则有 $$n_1+x$t_1=$n_2+x)t_2$
- 极值型：若牧草每天均匀生长，生长速度为 $x$ ，则有 $\(n_1-x$t_1=$n_2-x$t_2$ ，为保证草永远吃不完，牧场最多放 $x$ 头牛。
举个栗子

知识点14：给完工时间型工程问题

定义

完工时间指的是完成同一项工程的多个时间。
做题方法

赋总量：完工时间的最小公倍数
算效率： $效率=总量 \div 时间$
根据工作过程列方程或式子

举个栗子

例1：（2020 江苏）一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需50天和80天。若甲、乙工程队合作20天后，剩余工程量由乙、丙工程队合作需12天完成，则丙工程队单独完成此项工程所需的时间是：
A.40天 B.45天 C.50天 D.60天
【解析】给完工时间型；赋总量为 50 和 80 的公倍数为 400，求效率 $甲=\frac{400}{50}=8$ ， $乙=\frac{400}{80}=5$ 。列式子： $20\times(5+8)+12\times(5+丙)=400$ ，解得丙的效率为 $丙=\frac{20}{3}$ 。做完这项工程需要 $t=\frac{400}{\frac{20}{3}}=60$ 。故选 D。

例2：（2010 江苏）甲、乙两人加工一批零件，由甲单独做需36小时，由乙单独做需27小时。现由乙先开始做6小时，然后甲、乙两人同时做，完成任务时，甲加工的零件个数是600，由乙加工的零件个数是：
A.1200 B.1800 C.2000 D.2100
【解析】设工程总量为 36 和 27 的最小公倍数为 108。则甲的效率为 $108\div36=3$ ，乙的效率为 $108\div27=4$ 。设甲乙共同工作时间为 $t$ ，则有 $6\times4+t(3+4)=108$ ，解得 $t=12$ 。故甲的工作总量为 $12\times3=36$ ，乙的工作总量为 72。36 对应 600 件，则乙的工作总量为 $72\times \frac{600}{36}=1200$ 件。故选 A 项。

知识点15：给效率比例型工程问题

定义

给出多个主体完成某项工程的效率之比。
做题方法

赋效率：满足比例即可
算总量： $总量=效率\times时间$
根据工作过程列方程或式子

赋效率类型

直接给效率比例：甲：乙：丙=3：4：5 或甲=2乙
间接给效率比例：甲3天的工作量等于乙2天的工作量（3甲=2乙）
给具体人数或机器数：安排 100 名工人或 100 台机器去做某工程（默认没人或每台机器的效率为 1）

举个栗子

例1：（2018 四川）甲工程队与乙工程队的效率之比为4：5，一项工程由甲工程队先单独做6天，再由乙工程队单独做8天，最后由甲、乙两个工程队合作4天刚好完成，如果这项工程由甲工程队或乙工程队单独完成，则甲工程队所需天数比乙工程队所需天数多多少天？
 A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】给效率比型题目。赋效率，甲的效率为 4，乙的效率为 5。总工程量为 $4\times6+5\times8+4\times(4+5)=100$ 。 $t_甲=\frac{100}{4}=25$ ， $t_乙=\frac{100}{5}=20$ 。故甲比乙多五天。选 C 项。

例2：（2019 黑龙江）某地计划修筑一条道路。如果该道路交由甲施工队先单独施工6天，乙施工队再单独施工15天即可完工；如果交由乙施工队先单独施工6天，那么甲施工队还需要单独施工24天才能修筑完成。如果这条道路交由甲施工队单独施工，道路修筑完成需要：
 A.30 B.32 C.36 D.40
【解析】由题意知 $6甲+15乙=6乙+24甲$ 可得 $乙=2甲$ ，故甲乙效率比为 1：2。 $工程总量=6\times1+15\times2=36$ 。 $t_甲=\frac{36}{1}=36$ 。故选 C。

例3：（2018 国考）工程队接到一项工程，投入80台挖掘机。如连续施工30天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派70台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？
 A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
【解析】设每台挖掘机的工作效率为 1。则 $总工程量=(80\times1\times10)\times30=24000$ 。已经施工的工程量为： $(80\times1\times10)\times(30-10-8)=9600$ 。剩余工程量为： $24000-9600=14400$ 。设增加之后每天工作 $t$ 小时，有 $(150\times1\times t)\times8=14400$ ，解得 $t=12$ 。故每天需要多工作 $12-10=2$ ，选 B。

知识点16：给具体单位型工程问题

定义

题干给出工程总量或者效率的具体值。
做题方法

设未知数
找等量关系列方程

举个栗子

例1：（2020 江苏）某装配式建筑企业接到一个生产1033套楼板的订单。甲班组生产5天后，乙班组再生产4天，刚好完成任务。若甲班组比乙班组每天多生产23套，则甲班组生产楼板的套数是：
A.625 B.645 C.535 D.515
【解析】给出了工程总量，故为给具体值型工程问题。设乙班组每天生产 $x$ 套，则甲班组每天生产 $x+23$ 套。有 $1033=5\times(x+23)+4\times x$ → $918=9\times x$ → $x=102$ 。则甲班组每天生产 $102+23=125$ 套，则甲班组生产 $125\times5=625$ 套。选 A。

知识点17：同时开工同时结束类工程问题

定义

三个人做两项工作，要求同时开工同时结束。
做题方法

先整体分析： $工作时间=\frac{两项工作的工作量之和}{三个人的工作效率之和}$
再单独分析某一项工程

举个栗子

例1：甲乙丙三人完成同一幅拼图的时间分别需要1小时、1.2小时、1.5小时。现在有两幅拼图需要甲、乙完成，两人同时开始，丙刚开始帮助甲拼拼图，后来又帮助乙拼，最后两个拼图同时完成。问：丙分别帮助甲、乙多长时间？
A.0.1小时 0.3小时 B.0.3小时 0.5小时 C.0.5小时 0.6小时 D.0.6小时 0.2小时

知识点18：普通行程问题

基本公式考察： $路程=速度\times时间$

火车完全通过桥： $总路程=L_桥+L_{火车}$
火车完全在桥上： $总路程=L_桥-L_{火车}$

等距离平均速度

适用范围：等距离两段、直线往返、上下坡往返
公式： $\bar V=\frac{2V_1V_2}{V_1+V_2}$

等时间平均速度

公式： $\bar V=\frac{V_1+V_2}{2}$

举个栗子

知识点19：相对行程问题

相遇追及

直线相遇
- 定义：两人同时相向而行
- 公式： $S_和=(V_1+V_2)\times t$
直线追及
- 定义：两人同向而行或者一方先出发一方后出发
- 公式： $S_差=(V_1-V_2)\times t$
环形相遇
- 定义：同点相向出发
- 公式： $S_和=(V_1+V_2)\times t$ ；相遇一次， $S_和=1圈$ ；相遇 N 次， $S_和=N圈$
- 本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
环形追及
- 定义：同点同向出发
- 公式： $S_差=(V_1-V_2)\times t$ ；追上一次， $S_差=1圈$ ；追上 N 次， $S_差=N圈$ 。
- 本质：每一次追上到下一次追上期间，两人的路程差是一圈。

多次运动

直线多次往返迎面相遇（两端出发）
- 第一次相遇：共走 $S$
- 第二次相遇：共走 $3S$
- 第三次相遇：共走 $5S$
- ……
- 第 N 次相遇：共走 $(2n-1)S=(v_1+v_2)t$
直线多次往返迎面相遇（一端出发）
- 第一次相遇：共走 $2S$
- 第二次相遇：共走 $4S$
- 第三次相遇：共走 $6S$
- ……
- 第 N 次相遇：共走 $2nS=(v_1+v_2)t$
环形多次迎面相遇
- 第一次相遇：共走 $S$
- 第二次相遇：共走 $2S$
- 第三次相遇：共走 $3S$
- ……
- 第 N 次相遇：共走 $nS$
环形多次追及
- 第一次追及：路程差为 $S$
- 第二次追及：路程差为 $2S$
- 第三次追及：路程差为 $3S$
- ……
- 第 N 次追及：路程差为 $nS$

流水行船

公式： $V_顺=V_船+V_水$ ； $V_逆=V_船-V_水$
两数之和与两数之差的和的一半为大的一个数，两数之和与两数之差的差的一半为小的一个数。

举个栗子

例1：（2018 深圳）清晨，爷爷、爸爸和小磊在同一条笔直跑道上朝同一方向匀速晨跑，某一时刻，爷爷在前，爸爸在中，小磊在后，且三人之间的间距正好相等。跑了12分钟后小磊追上了爸爸，又跑了6分钟后小磊追上了爷爷，则再过（）分钟，爸爸可追上爷爷。
A.12 B.15 C.18 D.36
【解析】同向直线追及问题。设小磊的速度为 $V_1$ ，爸爸的速度为 $V_2$ ，爷爷的速度为 $V_3$ ，间距为 $S$ 。由题意可得： $\begin{cases} (V_1-V_2)\times12=S \\\ (V_1-V_3)\times18=2S \\\ (V_2-V_3)t=S \\\ \end{cases}$ 因为 $S$ 和 $2S$ 为 12 和 18 的倍数，所以假设 $S$ 为 12 和 18 的最小公倍数 36。则可求出： $\begin{cases} V_2=V_1-3\\\ V_3=V_1-4\\\ \end{cases}$ 故可知 $V_2-V_3=1$ 。代入则有 $t=36$ ，由于 $t$ 为某一时刻爸爸追上爷爷的时间，则爸爸再过 $36-12-6=18$ 分钟可以追上爷爷。

例2：（2019 浙江）王大妈与李大妈两人分别从小区外围环形道路上A、B两点出发相向而行。走了5分钟两人第一次相遇，接着走了4分钟后，李大妈经过A点继续前行，又过了26分钟两人第二次相遇。问李大妈沿小区外围道路走一圈需要几分钟？
A.54 B.69 C.60 D.63
【解析】方法一：设李大妈的速度为 $v_1$ ，王大妈的速度为 $v_2$ ，则 AB 的距离为 $9v_1$ ，有 $9v_1=5(v_1+v_2)$ → $v_2=\frac{4}{5}v_1$ 。从第一次到第二次两人相遇，总路程为一圈 $S$ ，时间为 $26+4=30$ ，有 $S=30(v_1+v_2)$ → $S=30 \times \frac{9}{5} \times v_1$ → $S=54v_1$ 。故李大妈跑一圈需要 54 分钟，选择 A。

知识点20：比例行程问题

适用场景

感觉题干未知数特别多或者缺少条件。
三量关系： $路程=速度\times时间$

路程一定（相同），速度与时间成反比
速度一定（相同），路程与时间成正比
时间一定（相同），路程与速度成正比

举个栗子

例1：甲从邮局出发去图书馆，乙从图书馆出发去邮局。两人12点同时出发，相向而行。12点40分两人相遇并继续以原速度前行。13点12分甲到达图书馆后立刻返回邮局。假定两人速度不变，甲返回邮局时，乙已到邮局多长时间了？
A.40 B.50 C.54 D.64
【解析】赋值法：设甲的速度为 $V_甲$ ，乙的速度为 $V_乙$ 。则总路程为 $S=40V_甲+32V_甲=72V_甲$ 。而当甲乙相遇时甲走的路程为 $40V_甲$ ，乙走的路程为 $32V_甲$ 。时间相同，路程与速度成正比，故甲乙速度之比为 $\frac{40V_甲}{32V_甲}=\frac{5}{4}$ 。赋值甲的速度为 5，乙的速度为 4，则乙到邮局花费 $\frac{72\times5}{4}=90$ 分钟，而甲往返花费 $\frac{2\times72\times5}{5}=144$ 分钟。则甲返回邮局时，乙已经到邮局 $144-90=54$ 分钟故选择 C。
比例法：甲从两人相遇的地方到图书馆需要 32 分钟，而同样乙从图书馆到两人相遇的地方需要 40 分钟。此段路程相同，故甲乙的速度比为时间的反比为 $\frac{40}{32}=\frac{5}{4}$ ，而甲到两人相遇的地方用时为 40 分钟，乙从两人相遇的地方到邮局所需时间为速度的反比，即 $\frac{40}{t}=\frac{4}{5}$ → t=50，故乙走完全程需要 $50+40=90$ 分钟，而甲往返需要 $2\times(40+32)=144$ 分钟。所以甲比乙多花费 $144-90=54$ 分钟。也就是说乙到达邮局 54 分钟后甲返回邮局，选择 C。

知识点21：基础经济利润问题

相关公式

$利润=售价-成本=成本\times利润率$
$利润率=\frac{利润}{成本}$
$售价=进价\times(1+利润率)$
$折扣=\frac{折后价}{折前价}\times10=\frac{1+后来的利润率}{1+原来的利润率}\times10$
$总价=单价\times数量=单个进价\times数量$
$总利润=单个利润\times数量=总售价-总进价$

解题方法

已知具体量，求具体量（利润、成本、售价）：列式，列方程
已知比例，求比例（利润率、折扣）：赋值法

举个例子

例1：某企业预计今年营业收入增长 15%，营业支出增长 10%，营业利润增加600万元。已知该企业去年的营业利润为1000万元，则其今年的预计营业支出是：
A.9000 B.9900 C.10800 D.11500
【解析】比例计算法：由于今年的营业支出增长 10%，所以 $\frac{今年营业支出}{去年营业支出}=1.1=\frac{11}{10}$ 。故今年的营业支出为 11 的倍数，只有 B 选项符合。
方程法：设今年的营业支出为 $x$ ，则今年的营业收入为 $x+1000+600$ ，去年的营业支出为 $\frac{x}{1+10\\%}$ ，去年的营业收入为 $\frac{x}{1+10\\%}+1000$ 。由于今年的营业收入增长 15%，则有 $\frac{x+1000+600}{\frac{x}{1+10\\%}+1000}=1.15$ → $x=9900$

支出收入

今年 $x$ $x+1600$

去年 $\frac{x}{1.1}$ $\frac{x}{1.1}+1000$

故选择 B 选项。

例2：某品牌月饼进价比上月提高了4%，某商场仍按上月售价销售该品牌月饼，利润率比上月下降了5个百分点，那么该商场上月销售该品牌月饼的利润率是多少？
A.20% B.25% C.30% D.32%
【解析】 $利润=成本\times利润率$ 。题干没有给出三量关系的具体值，所以使用赋一设一类赋值法。假设上月成本为 100，利润为 $x$ ，则有：

成本售价利润利润率

上月 100 $100+x$ $x$ $\frac{x}{100}$

本月 104 $100+x$ $x-4$ $\frac{x-4}{104}$

由题意有： $\frac{x}{100}-\frac{5}{100}=\frac{x-4}{104}$ → $\frac{x-5}{100}=\frac{x-4}{104}$ → $\frac{x-5}{100}=\frac{x-4}{104}=\frac{x-5-x+4}{100-104}=\frac{1}{4}$ ，则 $x-5=25$ → $x=30$ 。选择 C 项。

	支出	收入
今年	$x$	$x+1600$
去年	$\frac{x}{1.1}$	$\frac{x}{1.1}+1000$

	成本	售价	利润	利润率
上月	100	$100+x$	$x$	$\frac{x}{100}$
本月	104	$100+x$	$x-4$	$\frac{x-4}{104}$

知识点22：分段计费类经济利润问题

题型判定

生活中水电费、出租车计费、税费等，每段计费不同
计算方法
- 按标准，分开
- 计算后，汇总
举个栗子

例1：（2016 河南）贾某在停车场停车，每个月前几个小时内收费的基础价格为5元/小时，之后按照基础价格的 90% 收费，某月贾某的停车时间为120小时，共交了545元，则按照基础价格停车的时间为多少小时？
A.8 B.10 C.15 D.20
【解析】方法一：方程法，假设基础停车时间为 $x$ 。则有 $5x+(120-x)\times(5\times0.9)=545$ → $0.5x=5$ → $x=10$ 。故选择 B。
方法二，盈亏思维。假设 120 全部为基础价格，则应付 $120\times5=600$ ，然而实际只付了 545，则多付了 $600-545=55$ 元为按照基础价格的 90% 收费多付价格，每小时多付 0.5 元，则有 $55\div0.5=110$ 。则基础时长为 $120-110=10$ 。选择 B。

知识点23：合并计费类问题

题型判定

购买达到不同的标准执行不同的优惠活动，两人分别购买之后合并购买，求合并付款前后的优惠关系。
做题方法

分析分次购买时金额是否满足基础优惠活动，再分析合并后那一部分优惠活动改变。
举个栗子

例1：（2019 四川）某商场做促销活动，一次性购物不超过500元的打九折优惠；超过500元的，其中500元打九折优惠，超过500元部分打八折优惠。小张购买的商品需付款490元，小李购买的商品比原价优惠了120元。如两人一起结账，比分别结账可节省多少元钱？
A.10 B.20 C.30 D.50
【解析】合并节省钱为基础优惠 500 元打九折优惠变为打八折优惠共优惠的 10%，为 50 元，选择 D 选项。分析过程。因为满 500 元至少要付 450 元且优惠 50 元。所以小张和小李购买商品均超过 500 元。假设小张购买金额为 $500+a$ ，小李购买为 $500+b$ ，则总购买金额为 $500+500+a+b$ ，合并付款之后，金额 $a$ 与金额 $b$ 优惠不变，其中 500 元为原优惠九折，而另外 500 从九折变为八折优惠了 10%，故为 50 元。

例2：(2013 联考）某商场开展购物优惠活动：一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买300元以上的商品，其中300元九折优惠，超过的部分八折优惠。小王购物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次购买并付款，可以节省多少元？
A.16 B.22.4 C.30.6 D.48
【解析】第一次购买未超过 300 元，为 $\frac{144}{0.9}=160元，第二次购买超过三百元，故合并后优惠为第一次购买的九折变为八折共优惠$ 160\times0.1=16$，选择 A。

知识点24：函数最值类经济利润问题

题型判定

单价和销量此消彼长，问何时总价/利润最高。
做题方法

设提价次数为 $x$ ：
- 领总收入/总利润为 0，解得 $x_1$ ， $x_2$
- 当 $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ ，取得最值。
举个栗子

例1：（2020 江苏）某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是
A.5元 B.6元 C.7元 D.8元
【解析】假设降价 $x$ 次可实现利润最大化，则有： $(20-x)\times(120+20x)=0$ ，解得 $x_1=20$ ， $x_2=-6$ ，故当 $x=\frac{20-6}{2}=7$ 时利润最大。降价 $7$ 次，则降价金额为 $7\times1=7$ 元，选择 C。

例2：某企业设计了一款工艺品，每件的成本是70元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是120元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本。则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？
A.100元 B.102元 C.105元 D.108元
【解析】设降价为 $x$ 元可获得最大利润，则有： $(50-x)\times(100+5x)=0$ ，解得 $x_1=50$ ， $x_2=-20$ ，则 $x=\frac{50-20}{2}=15$ ，故降价 $15\times1=15$ ，售价为 $120-15=105$ 时，有最大利润。

知识点25：构造数列（和定最值）

题型特征

最……最……；排名第几……最……
做题方法

排序定位 → 反推其他 → 加和求解
反推其他：采用逆向求值的思想，若要求最大值，则让其他量尽可能小，若要求最小值，则让其他量尽可能大。
举个栗子

例1：（2014 国考）某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店：
 A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】排序定位，排序：将 10 个城市专卖店数量由多到少排序，定位：求谁定位谁，将排名最后的城市的专卖店设为 $x$ 。有：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$x$

反推其他：求最大值，则令其他量尽可能少，有

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

16 15 14 13 12 $x+4$ $x+3$ $x+2$ $x+1$ $x$

加和求解，则由题意有： $16+15+14+13+12+x+4+x+3+x+2+x+1+x=100$ → $5x=20$ → $x=4$ ，故选择 C。

例2：（2017 江苏）在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120分。按得分排名，前5名的平均分为115分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是：
 A.112分 B.113分 C.115分 D.116分
【解析】排序定位和反推其他

1 2 3 4 5

$x-2$ $x-1$ $x$ 119 120

加和求解： $x-2+x-1+x+119+120=115\times5$ → $3x=339$ → $x=113$ ，选择 B。

例3：某高校计划招聘81名博士，拟分配到13个不同的院系，假定院系A分得的博士人数比其他院系都多，那么院系A分得的博士人数至少有多少名？
 A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】排序定位：

| 1 | 2| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8| 9 | 10 | 11| 12 | 13|
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---
| $x$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ | $x-1$ |
则有 $13x-12=81$ → $x=7\frac{2}{7}$ ，故 $x$ 可取最小整数值为 8。选择 C。

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
16	15	14	13	12	$x+4$	$x+3$	$x+2$	$x+1$	$x$

1	2	3	4	5
$x-2$	$x-1$	$x$	119	120

知识点26：最不利构造

题型特征

当题干中出现“至少……才能保证……”类似的问法时，考虑最不利构造。
最不利原则

最不利原则主要考虑与成功一线之差的情况。也就是最不利的情况+1。做题步骤三步走：①分类；②没类离成功差 1，不够全取；③再加 1。
袋子中有 6 个红球，8 个白球，10 个黄球。问：

至少取（19）个，才能保证有红球。
至少取（7）个，才能保证有 3 个同色的球
至少取（21）个，才能保证有 8 个相同颜色的球
举个栗子

例1：（2019 重庆市法检）某地区招聘卫生人才，共接到600份不同求职者的简历，其中临床、口腔、公共卫生和护理专业分别有200人、160人、140人和100人。问至少有多少人被录用，才能保证一定有140名被录用的人专业相同？
A.141 B.240 C.379 D.518
【解析】最不利的情况为每种专业的人数恰好为 139 人，对于取不到 139 的专业取全部人数，故有 $139+139+139+100=517$ ，再加 1 为 518 人。

知识点27：两集合容斥原理

容斥问题

用容斥原理解决的问题称为容斥问题。容斥原理是一种计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
两者容斥问题

$I$ 代表总量， $x$ 既不属于 $A$ 也不属于 $B$ ，则有 $I=A+B-A \cap B+x$
举个栗子

知识点28：三集合容斥原理

常用公式
- 标准型公式： $I=A+B+C-A \cap B-A \cap C-B \cap C+A \cap B \cap C+x$
- 非标准公式： $I=A+B+C-只满足两个项-2\times只满足三项+x$
- 常识型公式： $I=只满足一项+只满足两项+只满足三项+x$
使用文氏图题型特征
- 条件或问题不便于代入公式计算，公式中不包含的部分用画图。
- 题干出现只满足某一项的情况也使用画图。
举个栗子

知识点29：容斥极值

题型特征

已知总量和 $n$ 个部分量，求这 $n$ 个部分都包含至少。如：
某社团有 45 人，其中 34 人爱好喜剧，30 人爱好写作，问至少有几个人喜剧和写作都爱好?
已知总量为 $I=45$ ，两个部分量：喜欢喜剧 34 人，喜欢写作 30 人。求喜剧和写作都喜欢的至少有多少人?容斥极值问题。
基本公式

$(A \cap B)_{min}=A+B-I$ ；
$(A \cap B \cap C)_{min}=A+B+C-2I$ ；
$(A \cap B \cap C)_{min}=A+B+C-2I$ ；
……
举个栗子

知识点30：排列组合之捆绑法

定义法

有 $n$ 个元素进行排列，要求部分元素相邻、相连或在一起，问一共有多少种排列方式。
方法
- 先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。
- 再排：将捆绑的看作一个元素，再进行排列。
 例：有 A、B、C、D四个人站成一排进行拍照，其中 B 与 C 是情侣，要求站在一起，问有多少种排法?
 将 B 与 C 看成一个整体，则有 $A_2^2$ 种排列，剩余 A 和 D 与捆绑后的 B 与 C，共有 3 个元素，对三个元素进行排列，有 $A_3^3$ 种排列。故一共有 $A_2^2 \times A_3^3=12$ 种排列方式。
举个栗子

例1：（2019 四川）某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5个主题，每个主题有2位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，问共有多少种不同的发言次序？
A.120 B.240 C.1200 D.3840
【解析】5 个主题，每个主题两个人发言且必须相邻，则有 $A_2^2 \times A_2^2 \times A_2^2 \times A_2^2 \times A_2^2=2^5=32$ ，再将 5 个主题排列有 $A_5^5=120$ ，则共有 $32 \times 120>1200$ 选择 D。

知识点31：排列组合之插板法

定义

有 $n$ 个元素进行排列，要求部分元素不相邻、不相连或不能在一起，问一共有多少种排列方式。
方法
- 先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。
- 再插：将不相邻的元素插入到空位中。
 例：有 A、B、C、D四个人站成一排进行拍照，其中 B 与 C 是冤家，要求不能站在一起，问有多少种排法?
 首先将 A 与 D 进行排列有 $A_2^2$ 种，形成三个空位，在三个空位中选择 2 个位置将 B 和 C 放入即可。故有 $A_3^2$ 种，一共有 $A_2^2 \times A_3^2=12$ 种。
举个栗子

知识点32：排列组合之错位重排

定义

错位重排是指把 $n$ 个元素的位置重新排列，使每个元素都不在原来的位置上。
公式

$D_n=(n-1)(D_{n-2}+D_{n-1})$ ，其中 $D_1=0$ ， $D_2=1$ ， $D_3=2$ ， $D_4=9$ ， $D_5=44$ 。
举个栗子

知识点33：排列组合之环形排列

定义

$n$ 个不同的元素排列成一个环形，既无头也无尾。
公式

$n$ 个元素共有 $A_{n-1}^{n-1}$ 种。
举个栗子

知识点34：排列组合之同素分堆（隔板模型）

定义

把 $n$ 个相同的元素分给 $m$ 个不同的对象，每个对象至少分得一个元素，方法数共有 $C_{n-1}^{m-1}$ 种。
适用条件

隔板模型的使用必须同时满足以下三个条件：
1. 所要分的元素必须完全相同
2. 分给的对象必须不同，且元素必须分完
3. 每个对象至少分到 1 个，绝不允许出现分不到元素的对象
应用方法
- 简单应用：题干满足隔板模型的所有条件
- 复杂应用：题干不满足第 3 个条件，可以通过转换使之满足
举个栗子

例1：（2014 四川）将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法：
 A.14
 B.18
 C.20
 D.22
【解析】 $C_{7-1}^{4-1}=C_6^3=20$ ，选择 C。

例2：将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？
 A.190 B.231 C.680 D.1140
【解析】我们假设借3个小球来分别分给三个盒子，每个盒子放一个小球。此时20个小球和这3个小球就能成为隔板模型。故有 $C_{23-1}^{3-1}=C_22^2=11 \times 21=231$ ，选择 B。

知识点35：给情况求概率

公式

$概率=\frac{满足要求的情况数}{总的情况数}$
举个栗子

知识点36：给概率求概率

分类用加法： $P=P_1+P_2+P_3+ \cdots +P_n$
分步用乘法： $P=P_1 \times P_2 \times P_3 \times \cdots \times P_n$
逆向思维：正难反易， $P=1-反面情况概率$

知识点37：多次重复试验

特征

在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行一种试验。每一次试验只有两种结果，即事件 A 要么发生，要么不发生。并且每次发生的概率都是相同的。
公式

某一试验重复进行 $n$ 次，其中每次试验中事件 A 发生的概率为 $p$ ，那么事件 A 发生 $k$ 次的概率为 $P=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$
举个栗子

知识点38：周期问题

周期余数
- 特征：出现循环或周期，问第/过 N个（天、年）
- 解题思路
 1. 找周期：确定周期的起点和长度
 2. 算余数： $总数N \div 周期=m个周期 \cdots 余数n$
 3. 做等价：第 $N$ 项就等价于该周期的第 $n$ 项；过 $N$ 天就等价于该周期的过 $n$ 天。
 例1：1 月 1 日是星期一，问 1 月份第 16 天（1 月 16 日）是星期几?
 起点是一月一日星期一，总数为 16，为 2 个周期余 2 天，故第 16 天为周期的第二项为星期二。
 例2：1 月 1 日是星期一，问再过 16 天是星期几?
 起点是一月一日星期一，总数为 16，为 2 个周期余 2 天，故过 16 天为周期过两项为星期三。
 注意： 描述中 第 与 过的区别

举个栗子
例1：（2016上海）文化广场上从左到右一共有5面旗子，分别代表中国、德国、美国、英国和韩国。如果将5面旗子从左到右分别记作A、B、C、D、E，那么从中国的旗子开始，按照ABCDEDCBABCDEDCBA......的顺序数，数到第313个字母时，是代表（）的旗子。
 A.英国 B.德国 C.中国 D.韩国
【解析】起点为中国，周期为 8，则有 $313 \div 8=39 \codts 1$ ，故为周期的第一项中国，选择 C。

例2：（2014 山西）五名工人按甲-乙-丙-丁-戊的顺序轮流值夜班，每人值班1天休息4天。某日乙值夜班，问再过789天该谁值班：
 A.甲 B.乙 C.丙 D.戊
【解析】起点为乙，周期为 5， $789 \div 5=157 \codts 4$ ，则为周期过 4 项，乙丙丁戊甲，为甲值班选择 A。

数个数①找周期 → ②算余数 → ③数个数
例3：（2018 广东）有一条长100厘米的纸带，从一端开始，先涂一段红色，长度为4厘米；再涂一段白色，长度为4厘米。按此规律重复操作，直到颜色涂满整条纸带。则涂红色的部分共有（）段。
 A.10 B.13 C.15 D.25
【解析】起点为红色，周期为 8 厘米， $100 \div 8=12 \codts 4$ ，余的 4 厘米恰好为红色，每个周期有一个红色，一共有 12 个周期，再加上末尾一段红色共 13 段。

周期最值①找周期 → ②算余数 → ③求最值（让谁多，主要看末尾余的地方，让它在前最多即可）
例4：（2016 国考）某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环境，一侧每隔3棵银杏树种1棵梧桐树，另一侧每隔4棵梧桐树种1棵银杏树，最终两侧各种植了35棵树，问最多栽种了多少棵银杏树？
 A.33 B.34 C.36 D.37
【解析】一侧每隔 3 棵银杏树种 1 棵梧桐树的周期为 4，有两种种法，一种为先种三棵银杏再种一颗梧桐，另一种为先种一颗梧桐再种三棵银杏。 $35 \div 4=8 \codts 3$ ，在两种种法中，三棵银杏一颗梧桐顺序的种法银杏最多为 $3 \times 8 +3=27$ 。同样另一侧周期为五， $35 \div 5=7$ 无余数，故无论是先四棵梧桐还是先种一棵银杏，总的银杏树都为 7 棵。故最多栽种 $27+7=34$ 棵银杏树，选择 B。

周期相遇

题型特征：出现多个小周期，求再次相遇
解题思路：求多个小周期的最小公倍数
其他：①每隔 $n$ 天=每 $n+1$ 天②每隔 $n$ 小时=每 $n$ 小时

例1：某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？
 A.5 B.2 C.6 D.3
【解析】甲部门每隔两天发布一次，则每三天发布一次，周期为 3，乙部门每隔三天发布一次，则每四天发布一次周期为 4，则甲乙一起发布的周期为 3 和 4 的最小公倍数为 12。则每隔 11 天甲和乙就得同时发布一次。一个自然月最多三十一天，有 $31 \div 12=2 \codts 7$ 。当甲和乙同时在七号以前发布时，一个月能发布 2 次加七号之前的一次共三次。故选择 D 项。

例2：三个学校的志愿队分别去敬老院照顾老人，A学校志愿队每隔7天去一次，B学校志愿队每隔9天去一次，C学校志愿队每隔14天去一次，三个队伍周三第一次同时去敬老院，问下次同时去敬老院是周几？
 A.周三 B.周四 C.周五 D.周六
【解析】 A 队每隔 7 天去一次，则周期为 8，B 队每隔 9 天去一次，则周期为 10，C 队每隔 14 天去一次，则周期为 15，15 与 8 互质，最小公倍数为 $15 \times 8=120$ ，120 能被 10 整除，故每 120 天 ABC 三队同时去养老院，则每过 120 天 ABC 三队同时去养老院，转换为周期余数问题，起点周三，周期为 7， $120 \div 7=17 \codts 1$ 。则该周期过 1 天过完周三为周四，选择 B。

例3：（2018 广州市）公司安排甲、乙、丙三人从周一开始上班，已知甲每上班一天休一天，乙每上班两天休一天，丙每上班三天休一天，那么三人第三次同时休息是星期（）。
 A.日 B.一 C.二 D.三
【解析】甲每上一天休一天，周期为 2，乙每上班两天休一天，周期为 3，丙每上班三天休一天，周期为 4，每隔 12 天，三人同时上班。要甲乙丙同时休息，则为同时上班的前一天，既每个共同周期的最后一天。三人同时第三次休息，即为三个周期的最后一天为 $12 \times 3=36$ 。变为周期余数问题，起点为周一，周期为 7，求第 36 天为周几，$36 \div 7=5 \codts 1。故为周期第一天周一。选择 B。

星期计算与推断

平润年判断：年分数能被 4 整除的为闰年，否则为平年。整百的年份需要被 400 整除。
大月与小月：一三五七八十腊，三十一天永不差。
整年推断：每过一个平年，星期增加一天，如果过闰日再加一。
题型特征：给出一段时间内有若干个周几，，推算某一天为周几。
常用结论：①每连续 7 天，必有周一到周日各一天；②每连续二十八天，必有周一到周日四天。
解题思路：取连续 28 天，求前（月初）取后，求后（月末）取前。

例1：（2013 国考）根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是：
A.周一或周三 B.周三或周日 C.周一或周四 D.周四或周日
【解析】8 月大，有 31 天，求前，取后 28 天，为四个整星期，有 $4 \times 5=20$ 个工作日。代入选项排除：

1号 2号 3号是否正确

周一周二周三 20+3个工作日不正确

周日周一周二 20+2正确

周三周四周五 20+3不正确

故选择 D。注意代入验证的次序

例2：（2015 北京）小王在每周的周一和周三值夜班，某月他共值夜班10次，则下月他第一次值夜班可能是几号？
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】一个星期的周期内值班两次，则小王值班 10 次经过 5 个周期。5 个周期需要 35 天，而一个月最多只有 31 天。故在前 4 个周期 28 天内值班 8 次，剩下的时间内值班两次，要想能值班两次，则必须经过周一到周三共 3 天，而 $28+3=31$ ，故该月共有 31 天且末三天为周一到周三。而要再次值班，需要到下周一经过 4 天为第 5 天，故为 5 号，选择 D。

1号	2号	3号	是否正确
周一	周二	周三	20+3个工作日不正确
周日	周一	周二	20+2正确
周三	周四	周五	20+3不正确

知识点39：空瓶换水问题

定义

可以用 n 个空瓶换一瓶水，问买 m 瓶水可以喝多少水或者喝 m 瓶水需要购买多少水。
做题思维

$n$ 个酒瓶可以换 1 瓶酒， $x$ 个空瓶最多可以喝到 $\frac{x}{n-1}$ 瓶酒。
$n$ 个空酒瓶可以 1 瓶酒，则有 $n空酒瓶=1瓶酒=1个空酒瓶+1份酒$ → $n空酒瓶-1空酒瓶=1份酒$ ，即相当于 $n-1$ 个空瓶可以换一份酒。则 $x$ 个空瓶可以换 $\frac{x}{n-1}$ 份酒。
举个栗子

例1：（2019 山东）某啤酒厂为促销啤酒，开展6个空啤酒瓶换1瓶啤酒的活动，孙先生去年花钱先后买了109瓶该品牌啤酒，期间不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问孙先生去年一共喝掉了多少瓶啤酒？
 A.127
 B.128
 C.129
 D.130
【解析】买了 109 瓶，109 个空瓶最多可以换 $\frac{109}{6-1}=21.8$ ，因为最多所以下取整为 21 瓶。购买了 109，换了 21。共喝 130。选择D。

知识点：匀加速直线运动

定义

加速度不变的加速运动称为匀加速运动。
相关公式
- $V_t=V_0+at$
- $S_t=V_0t+\frac{1}{2}at^2$
举个栗子

例1：（2020 北京）一辆汽车在高速公路上以60公里小时的速度匀速行驶，此时司机开始以固定的加速度进行加速，加速后50秒内，汽车行驶了1公里。则汽车从开始加速，到加速至高速公路的速度上限120公里小时需要多长时间？
A.100秒 B.125秒 C.150秒 D.180秒
【解析】由匀加速直线运动知 $1=\frac{1}{60}\times 50+\frac{1}{2}a \times 50^2$ → $a=\frac{1}{7500}km/s^2$ → $\frac{1}{30}=\frac{1}{60}+\frac{1}{7500}t$ → $t=125s$

知识点：其他

如果 $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ ，那么 $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}=\frac{A \pm C}{B \pm D}$
若某个量占其他量总和的 $\frac{1}{n}$ ，则该量占总量的 $\frac{1}{n+1}$ 。

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行测之数量关系

知识点1：整除法

知识点2：余数型

知识点3：比例计算

知识点4：赋值法

知识点5：代入排除法

知识点6：普通方程法

知识点7：十字交叉法（线段法）

知识点8：余数类问题

知识点9：鸡兔同笼类问题

知识点10：等差数列

知识点11：等比数列

知识点12：不定方程

知识点13：牛吃草类问题

知识点14：给完工时间型工程问题

知识点15：给效率比例型工程问题

知识点16：给具体单位型工程问题

知识点17：同时开工同时结束类工程问题

知识点18：普通行程问题

知识点19：相对行程问题

知识点20：比例行程问题

知识点21：基础经济利润问题

知识点22：分段计费类经济利润问题

知识点23：合并计费类问题

知识点24：函数最值类经济利润问题

知识点25：构造数列（和定最值）

知识点26：最不利构造

知识点27：两集合容斥原理

知识点28：三集合容斥原理

知识点29：容斥极值

知识点30：排列组合之捆绑法

知识点31：排列组合之插板法

知识点32：排列组合之错位重排

知识点33：排列组合之环形排列

知识点34：排列组合之同素分堆（隔板模型）

知识点35：给情况求概率

知识点36：给概率求概率

知识点37：多次重复试验

知识点38：周期问题

知识点39：空瓶换水问题

知识点：匀加速直线运动

知识点：其他

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