3.Public Disclosure and Dissimulation of Insider Traders

3.1 Set-up

在美国安保法律中，企业内部人必须报备给对应企业的SEC；这些报告在交易完成后以文件形式存储，并且由SEC以收据形式公开接收

我们在两阶段Kyle模型中研究交易披露的效应

存在有清算价值 $v$ 的唯一风险资产，其中 $v\sim\mathcal{N}(p_0,\Sigma_0)$

内部人在第一期开始时得知 $v$ ，并且在 $n\in\{1,2\}$ 开始时发出指令，买入或卖出 $x_n$ 份额的风险资产；内部人在第一期的交易量 $x_1$ ，在第一期结束后、第二期开始前进行公开披露

市场制定者接受所有指令，也包括噪声交易者的外生需求 $u_n$ ，其中 $u_n\sim\mathcal{N}(0,\sigma_u^2)$

假定 $v,u_1,u_2$ 相互独立

对于市场制定者，在第一期公开披露前，观察到总指令 $y_1=x_1+u_1$ ，设定价格 $p_1=\mathbb{E}(v|y_1)$ ；在第一期公开披露后，观察到之前设定的价格 $p_1$ 、总指令 $y_1$ 和内部人交易量 $x_1$ ，更新设定价格 $p_1^*=\mathbb{E}(v|p_1,y_1,x_1)=\mathbb{E}(v|x_1)$ ；在第二期，之前披露的内部人交易量 $x_1$ 和观察到总指令 $y_2=x_2+v_2$ ，设定价格 $p_2=\mathbb{E}(v|x_1,y_2)$

3.2 Equilibrium

由于市场披露，上一节Proposition 2的定价策略和交易策略不再是均衡，即 $\hat{x}_1\ne x_1$

我们假定内部人在第一期的交易量，存在依信息的线性部分 $\beta_1(v-p_0)$ 和噪声部分 $z$ ，其中 $z\sim\mathcal{N}(0,\sigma_z^2)$ 且与 $v,u_1$ 独立

设完美贝叶斯均衡为 $\{x_1(v),x_2(v,p_1^*),p_1(y_1),p_1^*(x_1),p_2(x_1,y_2)\}$ ，满足：

①收益最大化

$\begin{align*}x_2&\in\arg\max_{x_2}\mathbb{E}[(v-p_2)x_2|v,p_1^*]=\mathbb{E}(\pi_2^\prime|v,p_1^*)\\x_1&\in\arg\max_{x_1}\mathbb{E}[(v-p_1)x_1+\mathbb{E}(\pi_2^\prime|v,p_1^*)|v]\end{align*}$

②市场有效性

$p_1=\mathbb{E}(v|y_1),p_1^*=\mathbb{E}(v|x_1),p_2=\mathbb{E}(v|x_1,y_2)$

我们希望解决线性均衡的交易法则和定价法则：

$\begin{align*}x_1&=\beta_1(v-p_0)+z\\x_2&=\beta_2(v-p_1^*)\\p_1&=p_0+\lambda_1y_1\\p_1^*&=p_0+\gamma_1x_1\\p_2&=p_1^*+\lambda_2y_2\end{align*}$

内部人第二期问题：

基于第二期的信息 $I_2=\{v,p_1^*\}$ ，内部人解决收益最大化问题：

$\begin{align*}\max_{x_2}\mathbb{E}[(v-p_2)x_2|v,p_1^*]&=\mathbb{E}\{[v-p_1^*-\lambda_2(x_2+u_2)]x_2|v,p_1^*\}\\&=[v-p_1^*-\lambda_2x_2-\lambda_2\mathbb{E}(u_2|v,p_1^*)]x_2\\&=(v-p_1^*-\lambda_2x_2)x_2\end{align*}$

一阶条件为 $v-p_1^*-2\lambda_2x_2=0\Rightarrow x_2=\frac{1}{2\lambda_2}(v-p_1^*)$

二阶条件为 $-2\lambda_2<0\Rightarrow\lambda_2>0$

联立得 $\beta_2=\frac{1}{2\lambda_2},\mathbb{E}(\pi_2^\prime|v,p_1^*)=(v-p_1^*-\lambda_2x_2)x_2=\frac{(v-p_1^*)^2}{4\lambda_2}$

内部人第一期问题：

注意到：

$\begin{align*}\mathbb{E}[(v-p_1)x_1|v]&=\mathbb{E}\{[v-p_0-\lambda_1(x_1+u_1)]x_1|v\}\\&=[(v-p_0-\lambda_1x_1)-\lambda_1\mathbb{E}(u_1|v)]x_1\\&=(v-p_0-\lambda_1x_1)x_1\end{align*}$

$\begin{align*}\mathbb{E}[\mathbb{E}(\pi_2^\prime|v,p_1^*)|v]&=\mathbb{E}[\frac{(v-p_1^*)^2}{4\lambda_2}|v]\\&=\mathbb{E}[\frac{1}{4\lambda_2}(v-p_0-\gamma_1x_1)^2|v]\\&=\frac{1}{4\lambda_2}(v-p_0-\gamma_1x_1)^2\end{align*}$

联立得：

$\begin{align*}\max_{x_1}&\mathbb{E}[(v-p_1)x_1+\mathbb{E}(\pi_2^\prime|v,p_1^*)|v]\\&=(v-p_0-\lambda_1x_1)x_1+\frac{1}{4\lambda_2}[(v-p_0-\gamma_1x_1)^2]\end{align*}$

一阶条件为 $v-p_0-2\lambda_1x_1-\frac{\gamma_1}{2\lambda_2}(v-p_0-\lambda_1x_1)=0$

$\Rightarrow(1-\frac{\gamma_1}{2\lambda_2})(v-p_0)+(-2\lambda_1+\frac{\gamma_1^2}{2\lambda_2})x_1=0$

二阶条件为： $-2\lambda_1+\frac{2\gamma_1^2}{2\lambda_2}\leq0$

由一阶条件为恒等式，得 $1-\frac{\gamma_1}{2\lambda_2}=-2\lambda_1+\frac{\gamma_1^2}{2\lambda_2}=0\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\frac{\gamma_1}{2}$

市场制定者问题：

在第一期披露前，市场制定者观察到总指令 $y_1$ ，并设定价格 $p_1=\mathbb{E}(v|y_1)$

$\begin{align*}p_0+\lambda_1x_1&=p_1=\mathbb{E}(v|y_1)\\&=\mathbb{E}(v)+\frac{cov(v,y_1)}{var(y_1)}[y_1-\mathbb{E}(y_1)]\\&=p_0+\frac{\beta_1\Sigma_0}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2+\sigma_u^2}y_1\end{align*}$

得 $\lambda_1=\frac{\beta_1\Sigma_0}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2+\sigma_u^2}$

在第一期披露后，市场制定者更新设定价格 $p_1^*$

$\begin{align*}p_0+\gamma_1x_1&=p_1^*=\mathbb{E}(v|x_1)\\&=\mathbb{E}(v)+\frac{cov(v,x_1)}{var(x_1)}[x_1-\mathbb{E}(x_1)]\\&=p_0+\frac{\beta_1\Sigma_0}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2}x_1\end{align*}$

得 $\gamma_1=\frac{\beta_1\Sigma_0}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2}$

在第二期，市场制定者观察到总指令 $\{p_1^*,y_2\}$ ，并设定价格 $p_2=\mathbb{E}(v|p_1^*,y_2)$

$\begin{align*}p_1^*+\lambda_2y_2&=p_2=\mathbb{E}(v|x_1,y_2)\\&=\mathbb{E}(v|x_1)+\frac{cov(v,y_2|x_1)}{var(y_2|x_1)}[y_2-\mathbb{E}(y_2|x_1)]\\&=p_1^*+\frac{cov(v,y_2|x_1)} {var(y_2|x_1)}y_2\end{align*}$

得 $\lambda_2=\frac{cov(v,y_2|x_1)}{var(y_2|x_1)}$

我们有：

$\begin{align*}\Sigma_1&=var(v|x_1)=var(v)-\frac{cov(v,x_1)^2}{var(x_1)}\\&=\Sigma_0-\frac{\beta_1^2\Sigma_0^2}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2}=\frac{\Sigma_0\sigma_z^2}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2}\end{align*}\quad(26)$

$\begin{align*}var(y_2|x_1)&=var(\beta_2(v-p_1^*)+u_2)\\&=\beta_2^2var(v|x_1)+\sigma_u^2\\&=\beta_2^2[var(v)-\frac{cov(v,x_1)^2}{var(x_1)}]+\sigma_u^2\\&=\beta_2^2[\Sigma_0-\frac{\beta_1^2\Sigma_0^2}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2}]+\sigma_u^2\\&=\frac{\beta_2^2\Sigma_0\sigma_z^2}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2}+\sigma_u^2\\&=\beta_2^2\Sigma_1+\sigma_u^2\end{align*}$

$\begin{align*}cov(v,y_2|x_1)&=\mathbb{E}[v-\mathbb{E}(v|x_1)][y_2-\mathbb{E}(y_2|x_1)]\\&=\mathbb{E}(v-p_1^*)y_2=\mathbb{E}(v-p_1^*)[\beta_2(v-p_1^*)+u_2]\\&=\beta_2\mathbb{E}(v-p_1^*)^2=\beta_2var(v|x_1)\\&=\beta_2\Sigma_1\end{align*}$

联立得： $\lambda_2=\frac{cov(v,y_2|x_1)}{var(y_2|x_1)}=\frac{\beta_2\Sigma_1}{\beta_2^2\Sigma_1+\sigma_u^2}$

综上有：

$\begin{align*}\beta_2&=\frac{1}{2\lambda_2}&(27)\\\lambda_1&=\lambda_2=\frac{\gamma_1}{2}&(28)\\\lambda_1&=\frac{\beta_1\Sigma_0}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2+\sigma_u^2}&(29)\\\gamma_1&=\frac{\beta_1\Sigma_0}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2}&(30)\\\lambda_2&=\frac{\beta_2\Sigma_1}{\beta_2^2\Sigma_1+\sigma_u^2}&(31)\end{align*}$

联立得：

$\begin{align*}\sigma_z^2&=\frac{1}{2}\sigma_u^2\\\beta_1&=\frac{\sigma_u}{\sqrt{2}\sqrt{\Sigma_0}}\\\beta_2&=\frac{\sqrt{2}\sigma_u}{\sqrt{\Sigma_0}}\\\gamma_1&=\frac{\sqrt{\Sigma_0}}{\sqrt{2}\sigma_u}\\\lambda_1&=\lambda_2=\frac{\sqrt{\Sigma_0}}{2\sqrt{2}\sigma_u}\end{align*}$

进而有：

$\Sigma_1=var(v|x_1)=\frac{\Sigma_0\sigma_z^2}{\beta_1^2\Sigma_0+\sigma_z^2}=\frac{1}{2}\Sigma_0$

$\Sigma_2=var(v|x_1,y_2)=var(v|x_1)-\frac{cov(v,y_2|x_1)^2}{var(y_2|x_1)}=\Sigma_1-\lambda_2\beta_2\Sigma_1=\frac{1}{4}\Sigma_0$

由内部人问题，得：

$\begin{align*}\mathbb{E}(\pi_1^\prime)&=\mathbb{E}(v-p_0-\lambda_1x_1)x_1\\&=\mathbb{E}\{v-p_0-\lambda_1[\beta_1(v-p_0)+z]\}\{\beta_1(v-p_0)+z\}\\&=\mathbb{E}[(1-\lambda_1\beta_1)(v-p_0-\lambda_1z)][\beta_1(v-p_0)+z]\\&=(1-\lambda_1\beta_1)\beta_1\mathbb{E}(v-p_0)^2-\lambda_1\sigma_z^2\\&=\frac{3}{4}\beta_1\Sigma_0-\frac{1}{2}\lambda_1\sigma_u^2\\&=\frac{\sqrt{2}}{4}\sigma_u\sqrt{\Sigma_0}\end{align*}$

$\begin{align*}\mathbb{E}(\pi_2^\prime)&=\mathbb{E}(v-p_1^*-\lambda_2x_2)x_2\\&=\frac{1}{4\lambda_2}\mathbb{E}(v-p_1^*)^2\\&=\frac{1}{4\lambda_2}\Sigma_1\\&=\frac{\sqrt{2}}{4}\sigma_u\sqrt{\Sigma_0}\end{align*}$

Proposition 3:

在带有公开披露的两阶段Kyle模型中，有子线性均衡：

$\begin{align*}x_1&=\beta_1(v-p_0)+z,x_2=\beta_2(v-p_1)\\p_1&=p_0+\lambda_1y_1\\p_1^*&=p_0+\gamma_1x_1\\p_2&=p_1^*+\lambda_2y_2\\\sigma_z^2&=\frac{1}{2}\sigma_u^2\\\beta_1&=\frac{\sigma_u} {\sqrt{2}\sqrt{\Sigma_0}}\\\beta_2&=\frac{\sqrt{2}\sigma_u}{\sqrt{\Sigma_0}}\\\gamma_1&=\frac{\sqrt{\Sigma_0}}{\sqrt{2}\sigma_u}\\\lambda_1&=\lambda_2=\frac{\sqrt{\Sigma_0}}{2\sqrt{2}\sigma_u}\\\Sigma_1&=\frac{1}{2}\Sigma_0\\\Sigma_2&=\frac{1}{4}\Sigma_0\\\mathbb{E}(\pi_1^\prime)&=\mathbb{E}(\pi_2^\prime)=\frac{\sqrt{2}}{4}\sigma_u\sqrt{\Sigma_0}\\\end{align*}$