快乐相遇数论之回文素数

2天连载的小黄,本该安心学业去惹。奈何复习《初等数论》时挖到一些有趣的边角料,小黄难耐心里痒痒,急于与大家分享emm。(顺便操练下新get的markdown+latex嵌套技能哈。嘻嘻嘻)
(plus:若大家无暇速读,不妨欣赏下文末的小彩蛋哟西吼吼吼)


(\overbrace{11\cdots1}^{45个1}4\overbrace{11\cdots1}^{45个1} , \overbrace{11\cdots1}^{45个1}5\overbrace{11\cdots1}^{45个1})
咋样,惊不惊喜,意不意外,美不美到让你窒息?

咦,这厮,莫非飞飞飞???吖!江湖中隐匿已久滴回文数!!!

对哒,小熊真棒猜对喽!回文大侠闪亮登场嘿嘿!
克斯(●´∀`●),回文是啥捏?(这这这话风转滴)(废话少说放大图!)

趣味横生的回文诗

生物中的回文序列

扫完上述俩图,想必大家能猜个八九不离十了吧。
没错!回文(回环),就是正读反读都能读通的句子,亦有将文字排列成圆圈者,是一種修辭方式和文字游戏。---维基百科
大家可能布吉岛哇,回文数在咱们休闲数学领域可是备受关注呢。一个典型的问题就是,寻找那些具有某种特性,并且符合回文特征的数。特别地,数论界回文素数猜想一直负有盛名。想了解不么么哒,不废话惹,快上车!(对门外汉可能会有丢丢硬核哈,为不失内容的专业性,能力有限的小黄只能ԅ(¯㉨¯ԅ)。。。)

回文素数猜想

所谓回文素数,即正读反读皆同一数的素数。回文素数不算多,在1000以内只有下列16个:

11,101,131,151,181,191,313,353,373,383,727,757,787,797,919,929
(从这也能大抵窥得素数在整数中分布的稀疏性惹吧,极限分布密度\frac{1}{_{ln}\textrm{n}}量级讷)

1000以上的回文素数非常稀少,不过“物以稀为贵”哈,自然人手工计算很难寻找,数学家借助计算机找到数量不少的回文素数。在寻找极大回文素数方面,数学界杜勃讷(H.Dubner)一直保持创纪录成绩。下面这些奇特的大回文素数就都是它发现的:

  1. 仅由0、1组成的一个大回文素数是泽样滴:1(0)_{2415}(1)_{9}(0)_{2415}1,其中0_{2415}表示连续2415个“0”,这个回文素数共4841位,是H.Dubner1989年discovered滴。
  2. 同年,H.Dubner还发现惹仅有一个数字2,其余全是9所组成的回文素数:(9)_{2874}2(9)_{2874},此数共5749位。
  3. 一个超过1万位的回文素数:10^{11310}+4661664*10^{5652}+1,此数实际上是4661664前后各持有5652个0,首尾为1,共11311位。其独特之处不仅在于它极大,还在于其位数11311本身亦为回文素数。若把11311的位数5也看成一个回文素数,那么可把这个回文素数叫成“三重回文素数”。(好吧非要泽样沾亲带故, I 'full' of you...)
  4. 目前已知的最大回文素数为:10^{11810}+1465641*10^{5902}+1,共11811位。(呵,这不会又是传说中滴三重回文素数?emm这里留个小作业吧,读者可以brainstorm自行验证哟QAQ)

是否存在无穷多个回文素数?抱歉,仄似个至今未解的著名猜想dadida。
加拿大数学界格里奇曼(N. Gridgeman,忽略这鬼翻译哈嘻嘻)在研究回文素数时发现了这一奇异现象,即在奇数位回文素数中常出现仅数字差1,而2侧数字相同的素数对,他called此为回文素数对(数学系笔记时间!)。例如,在最前面的47个回文素数中,就有近一半即22个组成回文素数对:

(181,191),(373,393),(787,797),(919,929),(10501,10601),(11311,11411),(12721,12821),(13831,13931),(15451,15551),(16561,16661),(30103,30203).

目前呢已知最大的回文素数对如下(Attention!真是美妙绝伦哇,小黄就是ヾ(●゜ⅴ゜)?看到这串东东入坑的呢。可让人怀疑人生惹呢:数学是否真是上帝之学?辣么多美到窒息的对称/混沌/自相似,是巧合抑或天意(上帝故作神迹,对人类别有用心)?抱歉,实在有点小晕emm):

(\overbrace{11\cdots1}^{45个1}4\overbrace{11\cdots1}^{45个1} , \overbrace{11\cdots1}^{45个1}5\overbrace{11\cdots1}^{45个1}) (相信我,看久惹就会怀疑神迹哒。)

是否存在无穷多回文素数对讷?也是至今未获解决的猜想。期待永葆curiosity的你们,“打破神迹”,一探究竟呢!


后话PS:真是可恶哇,简书的markdown兼容不了表情包,有点小不爽嘿嘿)

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