立体几何之目：2017年文数全国卷B题18

2017年文数全国卷B题18（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD$ ， $\angle BAD=\angle ABC=90°.$

（1）证明∶直线 $BC$ // 平面 $PAD$ ;

（2）若 $\triangle PCD$ 的面积为 $2\sqrt{7}$ ，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

2017年文科数学全国卷B

【解答第1问】

∵ $\angle BAD=\angle ABC=90°$ , ∴ $BC // AD$ , 又∵ $AD \subset$ 平面 $PAD$ , ∴ 直线 $BC$ // 平面 $PAD$ .

证明完毕.

2017年文数全国卷B题18

【解答第2问】

作 $AD$ 中点 $M$ ，并连接 $MP,MC,AC$ .

∵ $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD$ , $\angle BAD=\angle ABC=90°$ ,

∴ $ABCM$ 是正方形， $MA=MD=MC$

底面ABCD

∵ $PAD$ 是等边三角形，∴ $PD=2MC$ , $PM=\sqrt{3} MC$

$CD=\sqrt{2}MC$

∵ $PAD$ 为等边三角形, $MA=MD$ , ∴ $PM \perp AD$

又∵ 侧面 $PAD$ 垂直于底面 $ABCD$ , ∴ $PM \perp$ 面 $ADC$ , ∴ $PM \perp MC$

∵ $PM \perp MC$ , $PM \perp AD$ , $MA=MD=MC$ , $PM$ 是公共边，

∴ $\triangle PMA \cong \triangle PMC \cong \triangle PMD$

∴ $PC=PD$

等腰三角形PAD

作 $CD$ 中点 $N$ 并连接 $PN$ , 则 $PN \perp CD$

$PN^2=PD^2-ND^2$

$PN=\sqrt{\dfrac{7}{2}} MC$

$S_{\triangle PCD}=\dfrac{1}{2} PN \cdot CD=\dfrac{\sqrt{7}}{2} MC^2$

∵ $S_{\triangle PCD}=2\sqrt{7}$ , ∴ $MC=2$ .

∴ $S_{ABCD}=6$ , $PM=2\sqrt{3}$

$V_{P-ABCD}=\dfrac{1}{3} PM \cdot S_{ABCD} = 4 \sqrt{3}$

【提炼与提高】

本题中，四棱锥的底面是一个梯形。但深入分析后，我们发现： $\triangle ACD$ 是一个等腰直角三角形， $\triangle PAD$ 是正三角形，而且这两个侧面是相互垂直的。所以，四面体 $P-ACD$ 与2007年文数海南卷中的模型完全一致，也就是我们自命名的『常用四面体I』。

注意以下三角形： $\triangle PMA, \triangle PMC, \triangle PMD$ . 这三个全等的直角三角形构成了四面体 $P-ABCD$ 的骨架。

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