求极限的八种方法

总结自武忠祥老师高数基础课

方法1 利用基本极限求极限
1. 常用的基本极限
  $\lim_{x\to0}\frac {sinx}{x} = 1，\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac 1x} = e，\lim_{x\to\infty}(1 + \frac 1x)^x = e \\[2ex] \lim_{x \to 0}\frac {a^x - 1}{x} = \ln a，\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1，\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1(a > 0)\\[2ex] \lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + … + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m - 1}x^{m - 1} + … + b_1x + b_0} = \begin{cases} \frac {a_n}{b_m}, & \text{n = m,} \\[2ex] 0, & \text{n < m,} \\[2ex] \infty,& \text{n > m,} \end{cases}\\[2ex]$
  $\lim_{n\to\infty}x^n = \begin{cases} 0,&\text{|x| < 1,}\\[2ex] \infty,&\text{|x| > 1,}\\[2ex] 1,&\text{x = 1,}\\[2ex] 不存在,&\text{x = -1.} \end{cases}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \lim_{n\to\infty} = \begin{cases} 0,&\text{x < 0,}\\[2ex] +\infty,&\text{x > 0,}\\[2ex] 1,&\text{x = 0.} \end{cases}$
  看到这几个公式之后，让我比较疑惑的时第二行的三个公式，直接看的话有点不好理解，其实这三个公式都可以用洛必达法则得到极限
2. " $1^\infty$ " 型极限常用结论
  
  若 $\lim\alpha(x) = 0$ ， $\lim\beta(x) = \infty$ ，且 $\lim\alpha(x)\beta(x) = A$ ，则
  $\lim\left[1 + \alpha(x)\right]^{\beta(x)} = e^A$
  可以归纳为以下三步：
  - 写标准形式：原式 = $\lim\left[1 + \alpha(x)\right]^{\beta(x)}$
  - 求极限： $\lim\alpha(x)\beta(x) = A$
  - 写结果：原式 = $e^A$
  这个其实可以看作是对常用方法的进一步总结

方法2 利用等价无穷小代换求极限
1. 代换原则
  - 乘除关系可以换
    $若\alpha \sim \alpha_1, \beta \sim \beta_1，则\lim \frac \alpha\beta = \lim \frac {\alpha_1}\beta = \lim \frac {\alpha}{\beta_1} = \lim \frac {\alpha_1}{\beta_1}$
  - 加减关系一定条件下可以换
    $若\alpha \sim \alpha_1, \beta \sim \beta_1，且\lim \frac {\alpha_1}{\beta_1} = A \neq 1，则\, \alpha - \beta \sim \alpha_1 - \beta_1\\[2ex] 若\alpha \sim \alpha_1, \beta \sim \beta_1，且\lim \frac {\alpha_1}{\beta_1} = A \neq -1，则\, \alpha + \beta \sim \alpha_1 + \beta_1$
2. 常用的等价无穷小（ $x\to0$ 时）
  $x \sim sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim ln(1 + x) \sim e^x - 1\,,\\[2ex] (1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\,,\,1 - cosx\sim \frac 12x^2\,,\,a^x - 1 \sim xlna\,,\\[2ex] x - sinx \sim \frac 16x^3\,,\,tanx - x \sim \frac 13x^3\,,\,x - ln(1 + x)\sim\frac 12x^2\,,\\[2ex] arcsinx - x \sim \frac16x^3\,,\,x - arctanx \sim \frac13x^3.$
方法3 利用有理运算法则求极限

有理运算法则：若 $\lim f(x) = A, \lim g(x) = B$
那么： $\lim \left[f(x) \pm g(x\right] = \lim f(x) \pm \lim g(x)$
$\lim \left[f(x)g(x)\right] = lim f(x)·lim g(x)$
$\lim\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}（B \neq 0）$

结论（结论很重要）：
- 存在 $\pm$ 不存在 = 不存在，其它都为不一定
- $\lim f(x) = A \neq 0 \Rightarrow \lim f(x)g(x) = A\lim g(x)$ ，即：极限非零的因子极限可以先求出来
- $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 存在， $\lim g(x) = 0\Rightarrow \lim f(x) = 0$
- $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = A \neq 0\,,\lim f(x) = 0 \Rightarrow \lim g(x) = 0$

方法4 利用洛必达法则求极限

洛必达法则
若（1） $\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0}g(x) = 0(\infty)$
（2） $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内可导，且 $g^{'}(x)\neq 0$
（3） $\lim_{x\to x_0}\frac {f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$ 存在（或 $\infty$ ）

则 $\lim_{x\to x_0} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac {f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$

结论（结论很重要）：
- 洛必达法则的适用类型：
  $\frac 00\,,\frac \infty\infty \Leftarrow \begin{cases} 0 · \infty \Leftarrow \begin{cases} 1^\infty\\[2ex] \infty^0\\[2ex] 0^0\\[2ex] \end{cases}\\[2ex] \infty - \infty \end{cases}$
- 使用洛必达法则应该要注意的几个问题
  - 先校验是否满足条件
  - 使用之后如果认为不定型，且符合洛必达法则的条件，可以再次使用洛必达法则
  - 如果 $\frac 00\,,\frac \infty\infty$ 型极限中存在含有极限非零的因子可以单独求极限
  - 可以和等价无穷小代换结合进行求极限

方法5 利用泰勒公式求极限
- $e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + … + \frac {x^n}{n!} + o(x^n)$
- $sinx = x - \frac {x^3}{3!} + … + (-1)^{n -1} \frac {x^{2n - 1}}{(2n - 1)!} + o(x^{2n - 1})$
- $cosx = 1 - \frac {x^2}{2!} + … + (-1)^{n - 1}\frac{x^{2n}}{(2n)!} +o(x^{2n})$
- $ln(1 + x) = x - \frac {x^2}{2} + …+(-1)^{n - 1}\frac {x^n}{n} + o(x^n)$
- $(1 + x)^a = 1 + ax + \frac {a(a - 1)}{2!}x^2 + … + \frac {a(a - 1)…(a - n + 1)}{n!}x^n + o(x^n)$
方法6 利用夹逼定理求极限
方法7 利用单调有界准则求极限
方法8 利用定积分定义求极限
$\int_0^1f(x)dx = \lim\sum_{i = 1}^nf(\xi_i)\Delta x_i = \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^nf(\frac in)$
从要求极限的式子中提取出可爱因子，转换为定积分，进行求解，也常用于求 $n$ 项和