到目前为止，我们一直都在讨论有限状态下的MDP问题，现在我们来看下当状态数量是无限时如何求解MDP问题。

离散化

也许求解无限状态下的MDP问题最简单的方法就是先将无限状态离散化成有限状态，然后再用之前介绍的价值迭代或者策略迭代算法了。

假设我们有两个状态s₁和s₂，我们可以用下图所示的网格来离散化这个状态空间。

图中的每一个网格都代表独立的离散状态s^*，因此我们可以把无限状态的MDP近似表示成(S^*, A, {P_s^*a}, γ, R)，其中S^*是所有离散状态的集合，{P_s^*a}是在状态s^*采取行动a的概率分布。然后我们就可以用价值迭代或者策略迭代算法求出V^*(s^*)和π^*(s^*)。

离散化的方法可以在很多场景都有很好的应用，但是它也有两个明显的缺点。第一个缺点是离散化只是对连续状态的近似，有时会有很大的误差。

为了更好地理解这一点，考虑如下的监督学习问题：

如果我们用线性回归作拟合，那么拟合效果是很好的。但是如果我们用离散化的方法去作拟合，那么拟合效果就如下图所示：

离散化的方法无法精确表示光滑曲线，如果需要降低误差，那么需要将离散化的粒度变得更小。

离散化的第二个缺点被称为维度的诅咒(curse of dimensionality)。假设我们把n维状态空间离散化成k份，那么所有离散状态的总数是kⁿ个。当n值变大时，所有离散状态的总数呈指数性增长。比如当n=10，k=100时，所有离散状态的总数是100¹⁰ = 10²⁰个，这个数字对于现在的计算机来说也是很难处理过来的。

作为一个经验法则，离散化通常对1维或2维状态的问题有较好的效果。如果处理得当，离散化也能很好处理4维状态。在极端情况下，离散化最多能处理到6维状态。一旦维数超过6，那么离散化将很难发挥出作用。

价值函数近似

现在我们介绍另一种求解无限状态下MDP问题的方法，这次我们来直接估计V^*。这个方法叫做价值函数近似(value function approximation)，在强化学习问题中有着成功的应用。

使用模型

在价值函数近似算法中，我们需要训练一个模型(model)，也称为模拟器(simulator)。简单来说，模拟器就是一个黑箱，它的输入是任意状态s_t和行动a_t，输出是根据状态转换概率P_stat得到的下一个状态s_t+1。

我们可以有多种方法获得这个模型。一种方法是通过物理模拟，比如我们可以通过物理定律和已知参数进行推导，或者使用现成的物理模拟软件进行建模。

另一种获得模型的方法从MDP的训练数据中进行学习。比如我们进行m次MDP的试验(trial)，每次试验进行T个时间序列步骤。这样我们就得到了如下m次试验数据：

我们可以将s_t+1看成是一个以s_t和a_t为参数的函数，然后通过某个学习算法求得该函数。

比如我们可以选择如下的线性模型：

通过线性回归的算法可以求得模型中的参数，也就是A和B两个矩阵。通过最大似然估计法，可以求得参数为：

求出A和B两个参数后，一种方法是建立一个确定(deterministic)模型，也就是通过等式(5)给定参数s_t和a_t来唯一确定s_t+1。另一种方法是建立一个随机(stochastic)模型，也就是说s_t+1是关于输入的一个随机函数，这个模型可以表示为：

其中ε_t是噪音项，通常来说ε_t ~ N(0, Σ)。

上面我们假设s_t+1是关于当前状态和行动的线型函数，但在实际情况中，非线性函数也是有可能的。这时我们可以把模型表示为：

其中φ_s和φ_a是关于状态和行动的某个非线性函数。另外我们也可以使用非线性学习算法，比如局部加权线性回归算法来估计参数。上述方法在构建MDP的确定模型和随机模型中都适用。

拟合的价值迭代

现在我们介绍拟合价值迭代(fitted value iteration)算法，它同样用于求解无限状态下的MDP问题。这里我们假设连续状态空间S = Rⁿ，行动空间A规模很小且是离散的。

回顾一下在价值迭代算法中，我们每次都是在更新：

注意，由于现在状态空间是连续的，所以这里用积分的方式来替代求和。

拟合价值迭代的中心思想是通过某个监督学习算法（这里我们用线性回归）来近似求出价值函数，其中价值函数是关于状态的线性或非线性函数，可以用下式表示：

其中φ是关于状态的某个映射函数。算法步骤描述如下：

算法的每次循环中，首先每次取样出k个状态，然后计算出y⁽ⁱ⁾，这个值正是对V(s)的近似（等式7的右边）。最后通过应用监督学习算法（线性回归）使得V(s)与y⁽ⁱ⁾尽可能的接近。

和有限状态的价值迭代算法不同，拟合价值迭代并不能保证算法总是收敛的。然而在实际应用中，算法通常是收敛的。注意，如果我们使用上一小节介绍的确定性的模型，那么价值迭代算法可以通过令k=1的方式进行简化。

最后，拟合价值迭代算法输出的是V，这是对V^*的近似。特别地，当系统处于某个状态s时，我们需要选择一个行动，这个行动a将会是：

计算这个值的过程和拟合价值迭代算法的内层循环很相似。

总结

• 无限状态下MDP问题可以通过两个算法求解：离散化和价值函数近似
• 离散化通常对2维以下状态的问题有较好的效果，极端情况下最多适用于6维以下状态
• 价值函数近似又可分为两种：使用模型和拟合价值迭代，其思想在于通过某种方法（物理模拟或算法学习）求得价值函数的一个近似值

参考资料

• 斯坦福大学机器学习课CS229讲义 Reinforcement Learning and Control
• 网易公开课：机器学习课程 双语字幕视频