矩阵代数（三）- 可逆矩阵的特征

小结

可逆矩阵定理
可逆线性变换

可逆矩阵定理

定理8（可逆矩阵定理）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n \times n$ 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 $\boldsymbol{A}$ ，它们同时为真或同时为假。
$a.\;\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵。
$b.\;\boldsymbol{A}$ 行等价于 $n \times n$ 单位矩阵。
$b.\;\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个主元位置。
$d.\;$ 方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 仅有平凡解。
$e.\;\boldsymbol{A}$ 的各列线性无关。
$f.\;$ 线性变换 $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}$ 是一对一的。
$g.\;$ 对 $\mathbb{R}^{n}$ 中任意 $\boldsymbol{b}$ ，方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 至少有一个解。
$h.\;\boldsymbol{A}$ 的各列生成 $\mathbb{R}^{n}$ 。
$i.\;$ 线性变换 $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}$ 把 $\mathbb{R}^{n}$ 映上到 $\mathbb{R}^{n}$ 。
$j.\;$ 存在 $n \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使 $\boldsymbol{CA}=\boldsymbol{I}$ 。
$k.\;$ 存在 $n \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{D}$ 使 $\boldsymbol{AD}=\boldsymbol{I}$ 。
$l.\;\boldsymbol{A}^{T}$ 是可逆矩阵。

应用可逆矩阵定理来判断 $\boldsymbol{A}$ 是否可逆： $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \\ -5 & -1 & 9\end{bmatrix}$ 。
解： $\boldsymbol{A}$ ～ $\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1\end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$
所以 $\boldsymbol{A}$ 有3个主元位置， $\boldsymbol{A}$ 是可逆的。

可逆线性变换

线性变换 $\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ 称为可逆的，若存在变换 $\boldsymbol{S}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ 使得
$a.\;$ 对所有的 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{S}(\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x}$
$b.\;$ 对所有的 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{T}(\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x}$ 。
我们称 $\boldsymbol{S}$ 是 $\boldsymbol{T}$ 的逆，把它写成 $\boldsymbol{T}^{-1}$ 。

设 $\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ 为线性变换， $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{T}$ 的标准矩阵。则 $\boldsymbol{T}$ 可逆当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵。这时由 $\boldsymbol{S}(x)=\boldsymbol{A}^{-1}$ 定义的线性变换S就是 $\boldsymbol{T}$ 的逆。

矩阵代数（三）- 可逆矩阵的特征

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可逆线性变换

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