FMT快速莫比乌斯变换

请大家注意:

因为作者写的文章中的梯等式公式总是莫名的显示错误,所以作者的许多文章中的梯等式都暴力拆成一步一个等式了。
造成的不适,请谅解。
同时,如果文章中还有其他错误,请联系作者,谢谢。

问题模型

快速求f(S) = \sum_{A \cup B = S} g(A)h(B)

公式推导

原式等价与:
f(S) = \sum_{A \subseteq S} \sum_{B \subseteq S} [A \cup B =S]g(A)h(B)
f(S) = \sum_{A \subseteq S} g(A) \sum_{B \subseteq S} h(B)[A \cup B = S]
那么我们设:
\begin{align} \hat f(S) &= \sum_{T \subseteq S} f(T) \\ \hat g(S) &= \sum_{T \subseteq S} g(T) \\ \hat h(S) &= \sum_{T \subseteq S} h(T) \end{align}
就有:
\hat f(S) = \hat g(S) \times \hat h(S)
之后可以用之前的子集反演得到:
f(S) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|S-T|} \hat f(T)
现在问题就是如何快速的在\hat ff之间变换。
由于3^n的枚举子集过于简单,就不讲了,在这里介绍O(n2^n)的做法:
我们先考虑正变换,考虑递推:
\hat f_{i}(S)表示\sum_{T \subseteq S} [(S-T) \subseteq \{0,1,2,...,i\}] f(T)
那么我们有:\hat f_{0}(S) = f(S)
然后对于所有不包含i+1这个元素的集合S,有:
\hat f_{i+1}(S) = \hat f_{i}(S)
\hat f_{i+1}(S \cup \{i+1\}) = \hat f_{i}(S \cup \{i+1\}) + \hat f_{i}(S)
那么\hat f_n即为所求。
接下来我们考虑反演,求出答案:
我们类似的定义f_{i}(S),那么对于所有不包含i这个元素的集合S,有:
f_{i-1}(S) = f_{i}(S)
f_{i-1}(S \cup \{i\}) = f_{i}(S \cup \{i\}) - f_{i}(S)
最后f_0即为所求。
又因为每一位(每一个元素)是独立的,所以我们可以从0 \sim n而不是从n \sim 0
那么我们就做完了。

拓展_1:集合交卷积

这个也是可以做集合交卷积的。
因为A \cap B = All - (All-A) \cup (All-B)
所以我们在进行变换之前先将每个值和它的补集交换一下,
在变换之后在交换一次,就好了。

拓展_2:子集卷积

其实就是在并集的基础上有加了一个条件:A \cap B = \Phi
这样我们只需要再加一维表示集合的大小,就好了。

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