向量基本定理整理三(外积)

定义给定两个三维向量P和Q，他们的外积可写为
$P \times Q=<{P_y}{Q_z} - {P_z}{Q_y} , {P_z}{Q_x} - {P_x}{Q_z} , {P_x}{Q_y} - {P_y}{Q_x}>$
令两个向量P和Q为三维向量则满足

$(P\times Q)\cdot P=0$

$(P\times Q)\cdot Q=0$

$(P\times Q)\cdot R=\left| \begin{matrix} P_x & P_y & P_z \\ Q_x & Q_y & Q_z \\ R_x & R_y & R_z \end{matrix} \right|$

$‖P\times Q‖=‖P‖ ‖Q‖\sin\alpha$

$‖P\times Q‖$ 等于向量P和Q所构成的平行四边形的面积
由三个顶点 $V_1,V_2,V_3$ 组成的任意三角形的面积A为:

$A=\frac{1}2‖(V_2 - V_1)\times(V_3-V_1)‖$
给定任意两个标量 $a,b$ 以及任意3个三维向量 $P、 Q和R$

$Q\times P=-(P\times Q)$

$(aP)\times Q=a(P\times Q)$

$P\times (Q+R)=P\times Q +P\times R$

$P\times P=0=<0,0,0>$

$(P\times Q)\cdot R=(R\times P)\cdot Q=(Q\times R)\cdot P$

$P\times (Q\times P)=P\times Q\times P=P^2 Q-(P\cdot Q)P$

$P\times Q\times R\neq P\times (Q\times R)$

最后编辑于：2019.10.17 21:48:37

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