高考数学全国卷解析几何大题：2007年至2022年

2007年至2009年间的解析几何大题

向量与曲线：2007年文科数学海南卷题19

分值：12分

在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x^2+y^2-12x+32=0 的圆心为 Q，过点P(0,2) 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B.

（I）求 k 的取值范围;
（Ⅱ）是否存在常数 k，使得向量 \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} 与 \overrightarrow{PQ} 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由.

参考答案：2007年文数海南卷题19

向量与曲线：2007年理数海南卷题19

分值：12分

在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0,\sqrt{2}) 且 斜率为 k 的直线 l 与椭圆\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 有两个不同的交点 P 和 Q.

（I）求 k 的取值范围;
（II）设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B ，是否存在常数 k，使得向量 \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ} 与 \overrightarrow{AB} 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由.

参考答案：2007年理数海南卷题19

抛物线和圆：2008年文科数学海南卷题20 \heartsuit

分值：12分

已知 m \in {R} ，直线 l: mx-(m^2+1)y=4m 和圆 C∶x^2+y^2-8x+4y+16=0.

（I）求直线 l 斜率的取值范围;

（Ⅱ）直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 \dfrac{1}{2} 的两段圆弧？为什么？

参考答案：2008年文数海南卷题20

向量与曲线：2008年理数海南卷题20

分值：12分

在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0) 的左、右焦点分别为F_1,F_2 ; F_2 也是抛物线C_2:y^2=4x 的焦点，点 M 为 C_1 与 C_2 在第一象限的交点，且|MF_2|=\dfrac{5}{3}.

（I）求 C_1 的方程；
（Ⅱ）平面上的点 N 满足 \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}，直线 l// MN ，且与 C_1 交于 A,B 两点，若 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0，求直线 l 的方程.

参考答案：2008年理数海南卷题20

方程与曲线：2009年文数全国卷题20 \heartsuit

分值：12分

已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.

（I）求椭圆 C 的方程;
（Ⅱ）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，\dfrac{|OP|}{|OM|}=e （ e 为椭圆 C 的离心率），求点 M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

参考答案：2009年文数全国卷题20

2010年至2014年间的解析几何大题

椭圆：2010年文科数学全国卷题20

分值：12分

设 F_1,F_2 分别是椭圆E: x^2 + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (0 \lt b \lt 1 )，的左、右焦点，过 F_1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 |AF_2|, |AB|, |BF_2| 成等差数列.

（1）求 |AB| ;
（2）若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值.

参考答案：2010年文数全国卷题20

椭圆：2010年理数全国卷题20

分值：12分

设 F_1,F_2 分别是椭圆E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)，的左、右焦点，过 F_1，斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 |AF_2|，|AB|，|BF_2| 成等差数列.

（1）求 E 的离心率;
（2）设点 P(0,-1) 满足 |PA|=|PB|, 求 E 的方程.

参考答案：2010年理数全国卷题20

抛物线和圆：2011年文科数学全国卷题20

分值：12分

在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x^2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上.

（I）求圆 C 的方程;
（Ⅱ）若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于A，B 两点，且 OA \perp OB，求 a 的值.

参考答案：2011年文科数学全国卷题20

向量与曲线：2011年理数全国卷题20

分值：12分

在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线 y=-3 上，M 点满足\overrightarrow{MB} // \overrightarrow{OA} ，\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA} ，M 点的轨迹为曲线 C.

（I）求 C 的方程；
（Ⅱ）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 l 距离的最小值.

参考答案：2011年理数全国卷题20

抛物线和圆：2012年文科数学全国卷题20（文理同题）

分值：12分

设抛物线 C:x^2=2py(p>0) 的焦点为 F，准线为 l，A为C上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点.
（I）若\angle BFD=90°，\triangle ABD 的面积为 4 \sqrt{2}，求 p 的值及圆 F 的方程；
（Ⅱ）若 A,B,F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m,n 距离的比值.

参考答案：2012年文数全国卷题20（文理同题）

方程与曲线：2013年文科数学全国卷二题20 \heartsuit

分值：12分

在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 \sqrt{2}，在 y 轴上截得线段长为 \sqrt{3}.
（I）求圆心 P 的轨迹方程;
（Ⅱ）若 P 点到直线 y=x 的距离为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}，求圆 P 的方程.

参考答案：2013年文数全国卷二题20

椭圆：2013年数学全国卷一题21（文理同题） \heartsuit

分值：12分

已知圆 M:(x+1)^2+y^2=1, 圆N:(x-1)^2+y^2=9, 动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.

（I）求 C 的方程;
（Ⅱ）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l与曲线 C 交于 A,B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 |AB|.

参考答案：2013年数学全国卷一题21

弦长和面积：2013年理数全国卷二题20

分值：12分
平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0) 右焦点的直线 x+y-3=0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为\dfrac{1}{2}

（I）求 M 的方程;
（Ⅱ）C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD \perp AB ，求四边形 ACBD 面积的最大值.

参考答案：2013年文数全国卷二题20

弦长和面积：2014年理数全国卷一题20

分值：12分
已知点 A (0，-2) ，椭圆 E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{3}}{2}, F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} ，O 为坐标原点.

（I）求 E 的方程;
（Ⅱ）设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点.当 \triangle OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.

参考答案：2014年理数全国卷一题20

椭圆：2014年数学全国卷二题20（文理同题）

分值：12分

设 F_1,F_2 分别是椭圆C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)，的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF_2 与 x 轴垂直. 直线 MF_1 与 C 的另一个交点为 N.

（I）若直线 MN 的斜率为\dfrac{3}{4} ，求 C 的离心率;
（Ⅱ）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 |MN|=5|F_1N| ，求 a，b.

参考答案：2014年数学全国卷二题20

四点共圆：2014年数学大纲卷题21（文理同题）

分值：12分
已知抛物线 C:y^2=2px(p>0) 的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 |QF|=\dfrac{5}{4} |PQ| .

（I）求 C 的方程;
（Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点，若 AB 的垂直平分线 l' 与 C 相交于 M,N 两点，且 A,M,B,N 四点在同一圆上，求 l 的方程.

参考答案：2014年数学大纲卷题21

方程与曲线：2014年文数全国卷一题20 \heartsuit

分值：12分

已知点 P(2,2)，圆 C:x^2 + y^2 -8y =0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点.
（I）求 M 的轨迹方程;
（Ⅱ）当 |OP|=|OM| 时，求 l 的方程及 \triangle POM 的面积.

参考答案：2014年文数全国卷一题20

方程与曲线：2014年理数湖北卷题21 \heartsuit

分值：14分
在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1,0) 的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C.
（I）求轨迹 C 的方程;
（Ⅱ）斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1) ，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围.

参考答案：2014年理数湖北卷题21

方程与曲线：2014年理数广东卷题20

分值：14分

已知椭圆 C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0) 的一个焦点为 (\sqrt{5},0)，离心率为 \dfrac{\sqrt{5}}{3}.

（1）求椭圆 C 的标准方程;
（2）若动点 P(x_0,y_0) 为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程.

参考答案：2014年理数广东卷题20

2015年至2019年间的解析几何大题

椭圆的弦：2015年文数全国卷二题20 \heartsuit

分值：12分

已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}，点 (2,\sqrt{2}) 在 C 上.

（I）求 C 的方程;
（Ⅱ）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A,B，线段 AB 的中点为 M. 证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

参考答案：2015年文数全国卷二题20

椭圆的弦：2015年理数全国卷二题20

分值：12分

已知椭圆 C:9x^2 + y^2=m^2（m \gt 0），直线 l 不过原点O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A,B，线段 AB 的中点为 M.

（I）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;
（Ⅱ）若l 过点 (\dfrac{m}{3},m) ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形? 若能，求此时 l 的斜率; 若不能，说明理由.

方程与曲线：2015年理数广东卷题20 \heartsuit

分值：14分

已知过原点的动直线 l 与圆 C_1∶x^2+y^2-6x+5=0 相交于不同的两点 A，B.
（1）求圆 C_1 的圆心坐标;
（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程;
（3）是否存在实数 k，使得直线 L∶y=k(x-4) 与曲线 C 只有一个交点? 若存在，求出 k 的取值范围; 若不存在，说明理由.

参考答案：2015年理数广东卷题20

直线与圆：2015年文数全国卷一题20

分值：12分

已知过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 (x-2)^2 + (y-3)^2=1 交于 M，N 两点.

（I）求 k 的取值范围;
（Ⅱ）若\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}=12，其中 O为坐标原点，求|MN|.

参考答案：2015年文数全国卷一题20

两角相等~抛物线：2015年理数全国卷一题20

分值：12分

在直角坐标系xOy中，曲线C:y=\dfrac{x^2}{4} 与直线 l: y=kx+a（a \gt 0）交于M，N两点.

（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程;
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 \angle OPM=\angle OPN ? 说明理由.

参考答案：2015年理数全国卷一题20

两角相等~椭圆：2015年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}，点 P(0,1) 和A(m,n)(m \ne 0) 都在椭圆 C 上. 直线 PA 交 x 轴于点 M.

（I）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m,n 表示）;
（Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N.问∶y 轴上是否存在点 Q，使得 \angle OQM= \angle ONQ ？若存在，求点 Q 坐标;若不存在，说明理由.

参考答案：2015年理数北京卷题19

抛物线：2016年文科数学全国卷一题20

分值：12分

在直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=t(t \ne 0) 交 y 轴于点 M，交抛物线 C:y^2=2px(p>0) 于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.

（I）求 \dfrac{|OH|}{|ON|};
（Ⅱ）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由.

参考答案：2016年文数全国卷一题20

弦长和面积：2016年理数全国卷一题20 \heartsuit

分值：12分

设圆x^2+y^2+2x-15=0 的圆心为 A，直线 l 过点B(1,0) 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C,D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD于点 E.
（I）证明|EA|+|EB| 为定值，并写出点 E 的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 E 的轨迹为曲线 C_1，直线 l 交 C_1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

参考答案：几何方法解答问题I ：数形结合，几何开路

参考答案：直角坐标系中解答问题Ⅱ

参考答案：极坐标方法解答问题Ⅱ

弦长和面积：2016年理数全国卷二题20

分值：12分

已知椭圆 E:\dfrac{x^2}{t} + \dfrac{y^2}{3} = 1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k（k \gt 0） 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E上，MA \perp NA.
（I）当 t=4，|AM|=|AN| 时，求 \triangle AMN 的面积;
（Ⅱ）当 2|AM|=|AN| 时，求 k 的取值范围.

弦长和面积：2016年数学全国卷三题20（文理同题）

分值：12分

已知抛物线 C:y^2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l_1,l_2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点.

（I）若 F 在线段AB上，R 是 PQ 的中点，证明 AR // FQ;
（Ⅱ）若\triangle PQF 的面积是\triangle ABF 的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程.

抛物线和圆：2017年文科数学全国卷三题20 \heartsuit

分值：12分

在直角坐标系 xOy 中，曲线y=x^2+mx-2 与 x 轴交于A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1)，当 m 变化时，解答下列问题∶

（1）能否出现 AC \perp BC 的情况？说明理由；
（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.

抛物线和圆：2017年理数全国卷三题20

分值：12分

已知抛物线 C:y^2=2x, 过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.

（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上;
（2）设圆 M 过点P(4,-2)，求直线 l 与圆 M 的方程.

参考答案：2017年理数全国卷三题20

向量与曲线：2017年数学全国卷二题20（文理同题）

分值：12分

设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C:\dfrac{x^2}{2} + y^2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足\overrightarrow{NP} = \sqrt{2} \overrightarrow{NM} .

（1）求点 P 的轨迹方程;
（2）设点 Q 在直线 x=-3 上，且 \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PQ} = 1. 证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.

参考答案：2017年数学全国卷二题20

抛物线的弦：2017年文数全国卷一题20 \heartsuit

分值：12分

设 A,B 为曲线 C:y=\dfrac{x^2}{4} 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.

（1）求直线 AB 的斜率;
（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM \perp BM，求直线 AB 的方程.

参考答案：2017年文数全国卷一题20

椭圆~定点问题：2017年理数全国卷一题20

分值：12分

已知椭圆 C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)，四点 P_1(1,1), P_2(0,1), P_3(-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}), P_4(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}) 中恰有三点在椭圆 C 上.

（1）求 C 的方程;
（2）设直线 l 不经过 P_2 点且与 C 相交于 A,B 两点. 若直线 P_2A 与直线 P_2B 的斜率的和为 -1，证明：l 过定点.

参考答案：2017年理数A题20

弦长和面积：2018年数学全国卷二题20（文理同题）

分值：12分

设抛物线 C:y^2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k \gt 0 ) 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点，|AB| =8.

（1）求 l 的方程;
（2）求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.

参考答案：2018年数学全国卷二题20

椭圆的弦：2018年文数全国卷三题20

分值：12分

已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 交于 A,B 两点，线段 AB 的中点为 M(1,m) (m \gt 0 ) .

（1）证明：k \lt - \dfrac{1}{2} ;
（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}

证明：2|\overrightarrow{FP}|=|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}| .

椭圆的弦：2018年理数全国卷三题20

分值：12分

已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 交于 A,B 两点，线段 AB 的中点为 M(1,m) (m \gt 0 ) .

（1）证明：k \lt - \dfrac{1}{2} ;
（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}

证明：|\overrightarrow{FA}|,|\overrightarrow{FP}|,|\overrightarrow{FB}| 成等差数列，并求该数列的公差.

两角相等~抛物线：2018年文数全国卷一题20

分值：12分

设抛物线C:y^2=2x ，点 A(2,0), B(-2,0) ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点.

（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程;
（2）证明： \angle ABM = \angle ABN.

参考答案：2018年文数全国卷一题20

两角相等~椭圆：2018年理数全国卷一题19

分值：12分

设椭圆 C: \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0).

（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程;
（2）设 O 为坐标原点，证明： \angle OMA = \angle OMB.

参考答案：2018年理数全国卷一题19

抛物线的弦：2019年理数全国卷三题21

分值：12分

已知曲线 C:y=\dfrac{x^2}{2},D 为直线 y=-\dfrac{1}{2} 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A,B.

（1）证明：直线 AB 过定点；
（2）若以 E(0,\dfrac{5}{2}) 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积。

参考答案：2019年全国卷三题21

抛物线的弦：2019年理数全国卷一题19

分值：12分

已知抛物线 C:y^2=3x 的焦点为 F，斜率为 \dfrac{3}{2} 的直线 l 与 C 的交点为 A,B，与 x 轴的交点为 P.

（1）若 |AF|+|BF|=4，求 l 的方程；
（2）若 \overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}，求 |AB|.

参考答案：2019年理数全国卷一题19

2019年全国卷二题21

分值：12分

已知点 A(-2,0),B(2,0), 动点 M(x,y) 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 -\dfrac{1}{2}. 记 M 的轨迹为曲线 C.

（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点，点 P 在第一象限，PE \perp x 轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G.

（i）证明：\triangle PQG 是直角三角形；

（ii）求 \triangle PQG 面积的最大值.

2020年~2022年

椭圆：2020年全国卷一题20 \heartsuit

分值：12分

已知 A,B 分别为椭圆 E: \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 =1( a \gt 1 ) 的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}＝8. P 为直线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D.
(1)求 E 的方程；
(2)证明：直线 CD 过定点。

参考答案：2020年理数全国卷一题20

2020年全国卷二题20

分值：12分

已知椭圆C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 的右焦点 F 与抛物线 C_2 的焦点重合，C_1 的中心与 C_2 的顶点重合. 过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C_1 于 A，B 两点，交 C_2 于 C，D 两点，且 |CD|= \dfrac{4}{3}|AB|.
（1）求 C_1 的离心率；
（2）设 M 是 C_1与 C_2 的公共点，若 |MF|=5，求 C_1与 C_2 的标准方程.

椭圆：2020年全国卷三题20

分值：12分

已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1(0 \lt m \lt 5) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{15}}{4}，A,B 分别为 C 的左、右顶点.

（1）求 C 的方程；
（2）若点 P 在 C上，点 Q 在直线 x=6上，且 |BP|=|BQ|, BP \perp BQ，求 \triangle APQ 的面积。

参考答案：2020年全国卷三题20

2020年新高考1卷题21

分值：12分

已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}, 且过点 A(2,1).

（1）求 C 的方程；
（2）点 M,N 在 C 上，且 AM \perp AN, AD \perp MN，D 为垂足. 证明：存在定点 Q，使得 |DQ|为定值.

2020年新高考2卷题21

分值：12分

已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 过点 M(2,3), 点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 \dfrac{1}{2}.

（1）求 C 的方程；
（2）点 N 为椭圆上任意一点，求 \triangle AMN 的面积的最大值.

2021年全国甲卷题20

分值：12分

抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l:x=1 交 C 于 P,Q 两点，且 OP \perp OQ. 已知点 M(2,0) ，且 \odot M 与 l 相切.

（1）求 C，\odot M 的方程；
（2）设 A_1,A_2,A_3 是 C 上的三个点，直线 A_1A_2,A_1A_3 均与 \odot M 相切. 判断直线 A_2A_3 与 \odot M 的位置关系，并说明理由.

2021年全国乙卷题21

分值：12分

已知抛物线 C:x^2=2py(p \gt 0) 的焦点为 F，且 F 与圆 M:x^2+(y+4)^2=1 上点的距离的最小值为 4.

（1）求 p；
（2）若点 P 在 M 上，PA,PB 是 C 的两条切线，A,B 是切点，求 \triangle PAB 面积的最大值.

2021年全国新高考1卷题21

分值：12分

在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F_1(-\sqrt{17},0),F_2( \sqrt{17},0), 点 M 满足 |MF_1| - |MF_2| =2. 记 M 的轨迹为 C.

（1）求 C 的方程；
（2）设点 T 在直线 x=\dfrac{1}{2} 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A,B 两点和 P,Q 两点，且 |TA| \cdot |TB|= |TP| \cdot |TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.

2021年全国新高考2卷题20

分值：12分

已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) ，右焦点为 F(\sqrt{2},0) ，且离心率为 \dfrac{\sqrt{6}}{3}.

（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 M,N 是椭圆 C 上的两点，直线 MN 与曲线 x^2+y^2=b^2(x \gt 0) 相切，证明：M,N,F 三点共线的充要条件是|MN|=\sqrt{3} .

2022年全国卷甲题20

分值：12分

设抛物线 C:y^2=2px (p \gt 0) 的焦点为 F，点 D(p,0)，过 F 的直线交 C 于 M,N 两点. 当直线 MD 垂直于 x 轴时，|MF|=3.

（1）求 C 的方程；
（2）设直线 MD,ND 与 C 的另一个交点分别为 A,B，记直线 MN,AB 的倾斜角分别为 \alpha,\beta. 当 \alpha-\beta 取得最大值时，求直线 AB 的方程.

2022年全国卷乙题20

分值：12分

已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过 A(0,-2),B(\dfrac{3}{2},-1) 两点.

（1）求 E 的方程；
（2）设过点 P(1,-2) 的直线交 E 于 M,N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足 \overrightarrow {MT} = \overrightarrow {TH}. 证明：直线 HN 过定点.

2022年全国新高考卷1题21

分值：12分

已知点 A(2,1) 在双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a^2-1}=1(a \gt 1) 上，直线 l 交 C 于 P,Q 两点，直线 AP,AQ 的斜率之和为 0.

（1）求 l 的斜率；
（2）若 \tan \angle PQA=2\sqrt{2}，求 \triangle PAQ 的面积.

2022年全国新高考卷2题21

分值：12分

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0) 的右焦点为 F(2,0) ，渐近线方程为 y=\pm\sqrt{3}x.

（1）求 C 的方程；

（2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于A,B 两点，点 P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2) 在 C 上，且 x_1 \gt x_2 \gt 0, y_1 \gt 0. 过 P 且斜率为 -\sqrt{3} 的直线与过 Q 且斜率为 \sqrt{3} 的直线交于点 M. 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

① M 在 AB上；②PQ//AB；③|MA|=|MB|.

注∶若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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