感知机是一个线性分类器，是向量机的基础。
为了方便叙述，仅考虑2维问题。如果数据是线性可分的话，那么一定存在一些线，使得线的两侧是两个不同的类。
1. 感知机模型：
Y={1,-1},如果，则预测
;如果
，则预测
。所以，如果出现误分类的话，
。
在这个模型中，我们的目标是将误分类点的个数->0,所以其实是在最小化一下这个loss function：
min ,其中M是误分类点的index，用一些最优化方法可以解得：
;
但感知机模型有一些问题：
- 如果一个平面线性可分的话，那一定存在不止一条的线可以划分这个平面，但我们显然是想要找到一条最好的
- 如果这些点线性不可分，那这个算法可能不会收敛
为了解决问题1，我们想在模型1的基础上加一些条件限制，于是有了hard-margin SVM:
2.Hard-Margin SVM
hard-margin SVM是在寻找一条线性分割线的同时，找到一个可以最大间隔超平面的线。
令 ,如果点
是分类正确的话，那么
是点到超平面的距离。如果是误分类点的话，那么
,所以我们希望
这就保证了所有点到超平面的距离都大于,最大化
使得我们能得到一个最大间隔超平面。
因为,所以
->
，令
,则这个模型的优化问题等价于：
要求解这个问题，我们可以把这个优化问题写成最小化以下的拉格朗日方程：，令一阶导为0求极值
;
将这些值代入
考虑的对偶问题
至于为什么这个方法要叫做Support Vector Machine,是因为我们会发现只有在两条边界线上的点对应的会大于0，所以其实问题的解仅仅只和训练集中的一部分点有关，那这些点就被称为support vector。
求解对偶问题与求解原问题等价，那为什么要引入对偶问题呢？一个是因为对偶问题的求解一般会比较简单，而且对偶问题改变了算法复杂度。
对于原问题，算法复杂度与feature数有关，而对于对偶问题，算法复杂度与样本数有关。因为在SVM中有时会运用核函数进行升维，并且升维后的样本维度可能会大于样本数，所以对偶问题会更容易求解。
而且对偶问题的形式更容易引入核函数的概念
为了解决问题2，又可以再hard-margin模型的基础上加一些容忍度，使得模型可以容忍误分类点的存在。
3.Soft-Margin SVM
的作用就是给一些容忍度，对于误判的点，
，对于正确判断但在两线之间的点，
，对于其他的点，
我们一般会用cross-validation来选择C，C越大，就会越小。
