试题 算法训练 传纸条（动态规划）
问题描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
输入格式
输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出格式
输出一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
样例输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
样例输出
34
第一种
思路：
此题思路和取方格一样的，可以用4维dp来解此题，题目意思就是让我们遍历2次解出最优解就是最大值，我们可以建立4维dp[i][i1][j][j1],分别表示第一个人和第二个人走的路线前2维表示第一个人，后2维表示第二个人。那我们就知道对应的走法了：
dp[i-1][i1][j-1][j1]代表的含义是他们同时往下走 取出他们上一步的值
dp[i][i1-1][j][j1-1]代表的含义是他们同时往右走 取出他们上一步的值
dp[i][i1-1][j][j1-1]代表的含义是他们分别往下和右走 取出他们上一步的值
dp[i-1][i1][j-1][j1]代表的含义是他们分别往右和下走 取出他们上一步的值
程序：
m,n=map(int,input().split())
a=[]
for i in range(m):
a.append(list(map(int,input().split())))
dp=[[[[0 for i in range(n) ] for i in range(m)]for i in range(n)] for i in range(m)]
for i in range(m): #第一个的x坐标
for i1 in range(n): #第一个的y坐标
for j in range(m): #第二个的x坐标
for j1 in range(n): #第二个的y坐标
if i+i1!=j+j1: #让他们是同步走的步数
continue
#他们分别往下或者右 或者同下和同右的 他们二个的最大值存到temp
temp=max(dp[i-1][i1][j-1][j1],dp[i][i1-1][j][j1-1])
temp1=max(dp[i-1][i1][j][j1-1],dp[i][i1-1][j-1][j1])
dp[i][i1][j][j1]=max(temp,temp1)+a[i][i1]#如果他们的位置重合了 我们只加一次的计算量
if i!=j and i1!=j1: #这是没有重合时
dp[i][i1][j][j1]+=a[j][j1]
print(dp[m-1][n-1][m-1][n-1])
第二种
思路：
上面的方法数据只可以跑80，所以我们就试着降维我们知道他们的坐标和是一样的而且画图你会发现在矩阵里面画多条右上角和左下角的，对角线,两个人的坐标肯定是在这些对角线的其中一条上面,所以现在就用i表示对角线上的多个位置,i的值就是对角线对应的x和y的坐标的和。那我们当知道x就可以知道y的坐标了。
dp[i-1][x][y] 代表的含义是他们同时往下走 取出他们上一步的值
dp[i-1][x-1][y] 代表的含义是他们分别往右和下走 取出他们上一步的值
dp[i-1][x-1][y-1] 代表的含义是他们同时往右走 取出他们上一步的值
dp[i-1][x][y-1]代表的含义是他们分别往下和右走 取出他们上一步的值
程序：
m,n=map(int,input().split())
a=[]
for i in range(m):
a.append(list(map(int,input().split())))
dp=[[[0 for i in range(n+1) ] for i in range(n+1)]for i in range(n+m+1)]
for i in range(m+n-2): #列和横坐标的总值
for x in range(n): #第一个的列坐标的值
for y in range(n):#第二个的列坐标的值
if i-x+1<0 or i-y+1<0 or i-x+1>m-1 or i-y+1>m-1: #让他试着走一步 判断他是否越界
continue
dp[i][x][y]=max(dp[i-1][x][y],dp[i-1][x-1][y],dp[i-1][x-1][y-1],dp[i-1][x][y-1])+a[i-x+1][x]
if x!=y: #是否重合位置
dp[i][x][y]+=a[i-y+1][y]
print(dp[m+n-3][n-1][n-1])
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