MIT-18.06-线性代数（第三讲）

第三讲 —— 矩阵乘法和逆

1. 矩阵乘法

1.1 行列内积

假设矩阵 $A$ 乘矩阵 $B$ ，得到矩阵 $C$ ， $C=AB$ 。回顾单个元素的求法，取特殊点 $c_{34}$ ，该元素从何处而来？来自矩阵 $A$ 的 $row3$ 和矩阵 $B$ 的 $col4$ 的点乘。即 $c_{34}=a_{31}b_{14}+a_{32}b_{24}......=\sum_{k=1}^{n} {a_{3k}b_{k4}}$ 。

矩阵在什么条件下能够相乘？若 $A$ 为 $m×n$ 矩阵，那么 $B$ 必须为 $n×p$ 矩阵， $A$ 的总列数必须与 $B$ 的总行数相匹配，得到 $C$ 为 $m×p$ 矩阵。这是乘法的一般性法则。

1.2 考虑整列

可以将乘法考虑为矩阵乘向量， $B$ 可以考虑成 $p$ 个单独的列向量，用 $A$ 乘每个列向量，相应可以得到 $p$ 列答案。 $C$ 中各列是 $A$ 中各列的线性组合。

1.3 考虑整行

$A$ 可以考虑成 $m$ 个单独的行向量，每个行向量乘 $B$ ，相应可以得到 $m$ 行答案。 $C$ 中各行是 $B$ 中各行的线性组合。

1.4 列乘以行

一列乘以一行，得到一个矩阵。 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 12 \\ 3 & 18 \\ 4 & 24 \\ \end{bmatrix}$ 。

$AB$ 等于 $A$ 各列与 $B$ 各行乘积之和， $\begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ 。

$\begin{bmatrix} 2 & 12 \\ 3 & 18 \\ 4 & 24 \\ \end{bmatrix}$ ，这个矩阵很特殊，所有的行都依赖于同一行，所有的行都依赖于 $\begin{bmatrix} 1 & 6 \\ \end{bmatrix}$ ，如果画出这些行的向量，它们都是同一方向，同理，画出列向量，也会是同一方向。

1.5 分块乘法

$\left[\begin{array}{c|c} A1 & A2 \\ \hline A3 & A4 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c|c} B1 & B2 \\ \hline B3 & B4 \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c} A1B1+A2B3 & A1B2+A2B4 \\ \hline A3B1+A4B3 & A3B2+A4B4 \\ \end{array}\right]$

2. 逆（方阵）

存在方阵 $A$ ，如果它可逆，即存在某个矩阵称为 $A^{-1}$ ，那么 $A^{-1}A=I=AA^{-1}$ ，左逆等于右逆。 $A$ 为可逆的（invertible），非奇异的（non-singular）。

下面讨论奇异矩阵，没有逆的情况，比如 $A=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ \end{bmatrix}$ ，用 $A$ 乘另一个矩阵，结果中的列都是 $A$ 中相应列的倍数，无法得到单位阵，单位阵的第一列 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ ，不可能是 $A$ 中这些列的线性组合，因为 $A$ 中两列共线，所有的线性组合均在此直线上， $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ 却不在其上。

另一个角度，如果存在向量 $x$ ，使得 $Ax=0$ ，如 $Ax=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ ，则 $A$ 不可逆，因为如果 $Ax=0$ ，假设乘上 $A$ 的逆，会得到 $x=0$ ，实际上 $x\neq0$ ，假设不成立。即如果其中一列对线性组合毫无贡献，矩阵不可能有逆。

得到结论：奇异矩阵，其列能通过线性组合得到0，通过非零向量 $x$ 得到0。

考虑非奇异矩阵，例 $A=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{bmatrix}$ ，则有 $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ，如何求 $A^{-1}$ ，即求 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$ 。 $A$ 乘其逆的第 $j$ 列，等于单位矩阵的第 $j$ 列， $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$
， $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 。

采用高斯-若尔当（Gauss-Jordan）方法，首先构造增广矩阵 $\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 1 \\ \end{array}\right]$ ，然后进行消元，
$\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 1 \\ \end{array}\right]$ ——> $\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{array}\right]$ ——> $\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{array}\right]$ 。即从 $\left[\begin{array}{c|c} A & I \\ \end{array}\right]$ 消元得到 $\left[\begin{array}{c|c} I & A^{-1} \\ \end{array}\right]$ 。

本质是使用消元矩阵 $E$ ，使 $E \left[\begin{array}{c|c} A & I \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c} I & ? \\ \end{array}\right]$ ， $EA=I$ ，可得 $E=A^{-1}$ ，则有 $?=EI=A^{-1}$

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