线性方程组（八）- 线性变换介绍

小结

矩阵变化的定义
线性变化的定义

矩阵方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 和对应的向量方程 $x_1\boldsymbol{a_1}+\cdots+x_n\boldsymbol{a_n}=\boldsymbol{b}$ 之间的差别仅仅是记号上的不同。然而矩阵方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 出现在线性代数和应用中并不仅仅是直接与向量的线性组合问题有关。通常的情况是把矩阵 $\boldsymbol{A}$ 当作一个对象，它通过乘法“作用”于向量 $\boldsymbol{x}$ ，产生新的向量称为 $\boldsymbol{Ax}$ 。
$\begin{bmatrix}4 & -3 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 5 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \\ 8\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}4 & -3 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 5 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}$
由这个新观点，若 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}4 & -3 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 5 & 1\end{bmatrix}$ ，解方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 可解释为：求出 $\mathbb{R}^{4}$ 中所有经过乘以 $\boldsymbol{A}$ 的“作用”后变成为 $\mathbb{R}^{2}$ 中 $\boldsymbol{b}$ 的向量 $\boldsymbol{x}$ 。

由 $\boldsymbol{x}$ 到 $\boldsymbol{Ax}$ 的对应是由一个向量集到另一个向量集的函数。这个概念推广了通常的函数概念，通常的函数是把一个实数变为另一个实数的规则。
由 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}^{m}$ 的一个变换（或函数、映射） $\boldsymbol{T}$ 是一个规则，它把 $\mathbb{R}^{n}$ 中每个向量 $\boldsymbol{x}$ 对应以 $\mathbb{R}^{m}$ 中一个向量 $\boldsymbol{T(x)}$ 。集 $\mathbb{R}^{n}$ 称为 $\boldsymbol{T}$ 的定义域，而 $\mathbb{R}^{m}$ 称为 $\boldsymbol{T}$ 的余定义域（或取值空间）.符号 $\boldsymbol{T}$ ： $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 说明 $\boldsymbol{T}$ 的定义域是 $\mathbb{R}^{n}$ 而余定义域是 $\mathbb{R}^{m}$ 。对于 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量 $\boldsymbol{x}$ ， $\mathbb{R}^{m}$ 中向量 $\boldsymbol{T(x)}$ 称为 $\boldsymbol{x}$ （在 $\boldsymbol{T}$ 作用下）的像。所有像 $\boldsymbol{T(x)}$ 的集合称为 $\boldsymbol{T}$ 的值域。

矩阵变换

对 $\mathbb{R}^{n}$ 中每个 $\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{T(x)}$ 由 $\boldsymbol{Ax}$ 计算得到，其中 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵。为简单起见，有时将这样一个矩阵变换记为 $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}$ 。注意当 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 列时， $\boldsymbol{T}$ 的定义域为 $\mathbb{R}^{n}$ ，而当 $\boldsymbol{A}$ 的每个列有 $m$ 个元素时， $\boldsymbol{T}$ 的余定义域为 $\mathbb{R}^{m}$ 。 $\boldsymbol{T}$ 的值域为 $\boldsymbol{A}$ 的列的所有线性组合的集合，因为每个像 $\boldsymbol{T(x)}$ 有 $\boldsymbol{Ax}$ 的形式。

设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & -3 \\ 3 & 5 \\ -1 & 7\end{bmatrix},\boldsymbol{u}=\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix},\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ 5\end{bmatrix},\boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ -5\end{bmatrix}$ ，定义变换 $\boldsymbol{T}$ : $\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ 为 $\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{Ax}$ ，于是
$\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{Ax}=\begin{bmatrix}1 & -3 \\ 3 & 5 \\ -1 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1-3x_2 \\ 3x_1+5x_2 \\ -x_1+7x_2\end{bmatrix}$

求 $\boldsymbol{u}$ 在变换 $\boldsymbol{T}$ 下的像 $\boldsymbol{T(u)}$
求 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量 $\boldsymbol{x}$ ，使 $\boldsymbol{x}$ 在 $\boldsymbol{T}$ 下的像是向量 $\boldsymbol{b}$
是否有其他向量在 $\boldsymbol{T}$ 下的像是向量 $\boldsymbol{b}$ ？
确定是否属于变换的值域
解：
1. $\boldsymbol{T(u)}=\begin{bmatrix}1 & -3 \\ 3 & 5 \\ -1 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5 \\ 1 \\ -9 \end{bmatrix}$
2. 解 $\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{b}$ ，即解 $\boldsymbol{Ax}= \boldsymbol{b}$ 。
  将增广矩阵进行行化简：
  $\begin{bmatrix}1 & -3 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & 7 & -5\end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix}1 & -3 & 3 \\ 0 & 14 & -7 \\ 0 & 4 & -2\end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix}1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
  因此， $x_1=1.5,x_2=0.5$ 。即 $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}1.5 \\ -0.5\end{bmatrix}$ 在 $\boldsymbol{T}$ 下的像是给定的向量 $\boldsymbol{b}$
3. 由2)可知， $\boldsymbol{Ax}= \boldsymbol{b}$ 的解是唯一的。所有仅有一个 $\boldsymbol{x}$ 使它的像是 $\boldsymbol{b}$ 。
4. 若向量 $\boldsymbol{c}$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中某个 $\boldsymbol{x}$ 在 $\boldsymbol{T}$ 下的像，则需要有 $\boldsymbol{x}$ ，使方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{c}$ 有解。将 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{c}$ 的增广矩阵进行行化简：
  $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & 7 & 5 \end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix}1 & -3 & 3 \\ 0 & 14 & -7 \\ 0 & 4 & 8\end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix}1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 14 & -7\end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix}1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -35 \end{bmatrix}$

第三个方程是0=-35，说明方程无解。因此 $\boldsymbol{c}$ 不属于 $\boldsymbol{T}$ 的值域。

若 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，则变换 $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}$ 是把 $\mathbb{R}^{3}$ 中的点投影到 $x_1x_2$ 坐标平面上，因为 $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ 0\end{bmatrix}$

若 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ ，变换 $\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ 定义为 $\boldsymbol{Tx}=\boldsymbol{Ax}$ ，称为剪切变换。可以说明，若 $\boldsymbol{T}$ 作用一个正方形的各点，则像的集构成带阴影的平行四边形。关键的思想是证明 $\boldsymbol{T}$ 将线段映射称为线段，然后验证正方形的4个顶点映射成平行四边形的4个顶点。

线性变换

定义变换（或映射） $\boldsymbol{T}$ 称为线性的，若

对 $\boldsymbol{T}$ 的定义域中一切 $\boldsymbol{u,v}$ ， $\boldsymbol{T(u}+\boldsymbol{v)}=\boldsymbol{T(u)} + \boldsymbol{T(v)}$
对 $\boldsymbol{T}$ 的定义域中一切 $\boldsymbol{u}$ 和数 $c$ ， $\boldsymbol{T(}c\boldsymbol{u)}=c\boldsymbol{T(u)}$ 。

线性变换保持向量的加法运算与标量乘法运算。

若 $\boldsymbol{T}$ 是线性变换，则 $\boldsymbol{T(0)}=\boldsymbol{0}$ ，且对 $\boldsymbol{T}$ 的定义域中一切向量 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 以及数 $c$ 和 $d$ 有： $\boldsymbol{T(}c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v)}=c\boldsymbol{T(u)}+d\boldsymbol{T(v)}$ 。

对所有 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$ 和 $c,d$ ，若一个变换满足 $\boldsymbol{T(}c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v)}=c\boldsymbol{T(u)}+d\boldsymbol{T(v)}$ ，该变换必是线性的。
（若 $c=d=1$ ，可满足定义条件1；若 $c=1,d=0$ ，可满足定义条件2。）
重复应用 $\boldsymbol{T(}c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v)}=c\boldsymbol{T(u)}+d\boldsymbol{T(v)}$ ，得出推广： $\boldsymbol{T(}c_1\boldsymbol{v_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{v_p)}=c_1\boldsymbol{T(v_1)}+\cdots+ c_p\boldsymbol{T(v_p)}$ 。该推广等式，在工程和物理中，称为叠加原理。

给定数 $r$ ，定义 $\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ 为 $\boldsymbol{T(x)}=r\boldsymbol{x}$ ，当 $0 \leq r \leq 1$ 时， $\boldsymbol{T}$ 称为压缩变换；当 $r \geq 1$ 时， $\boldsymbol{T}$ 称为拉伸变换。设 $r = 3$ ，证明 $\boldsymbol{T}$ 是线性变换。
解：设 $\boldsymbol{u,v}$ 属于 $\mathbb{R}^{2}$ ， $c,d$ 为数，则
$\quad\boldsymbol{T(}c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v)} \\ = 3(c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v}) \\ = 3c\boldsymbol{u} + 3d\boldsymbol{v} \\ = c(3\boldsymbol{u}) + d(3\boldsymbol{v})\\ = c\boldsymbol{T(u)}+d\boldsymbol{T(v)}$
因满足 $\boldsymbol{T(}c\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{v)}=c\boldsymbol{T(u)}+d\boldsymbol{T(v)}$ ，故此变换必是线性的。
其实可以猜出矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r\end{bmatrix}$ 。