上次写的文章《关于自然数的哲学探讨》纯粹是个人的一些想法，没想到最近在看巴克莱的《数学哲学》的时候发现有和我从自然数开始探讨数学的类似想法，一方面说明我的观点还是有些参考价值，另一方面说明我在写作之前查阅的资料比较少，因此可能失去了深入讨论的机会。这次我是在读了陈嘉映的《哲学·科学·常识》之后产生的一些想法，这本书直接导致了我的书单大幅度变长，所以即使到我开始写这篇文章的时候也没能看完所有我收集到的相关书籍。但是也没有办法，还是有很多值得分享的一些观点，我会尽可能多地引用一些例证，用“ * ”标出引言，在文章末尾附上来源。闲话少叙，直接上正文。

1.引言

    数学在各个学科中的地位称得上是基础性的。不论是柏拉图在吕克昂学园门额上所篆刻的“不懂数学者不准入内”，还是如今物理学、化学等实证科学中大量的数学公式，都昭示着数学的强大作用与影响力。在今天，我们评论一门学科是否科学，很大程度上是看这个学科有多少数学的成分（考虑人们对物理学与社会学的看法）。康德甚至断言“在所有关于自然的特定理论中，我们能够发现多少数学，就能发现多少真正的科学”*。

（《雅典学园》 拉斐尔/绘）

    既然数学如此广泛地应用于实证科学中，那么究竟是什么原因使得数学能够起到这样的作用呢？数学这一如此高度抽象的学科为什么可以用来描述具体的自然世界呢？我们在小学时学习的加减乘除怎么就能说明物体运动的快慢了呢？本文就致力于从数学的特点出发，为解释数学何以至此提供一个基础，再来对上述问题作出解答。

2.数学的特点

    我将列出三个数学最显著的特点，三者之间没有很明显的分别，并且有着较强的联系，我会按照一定的顺序进行阐述，并理清它们之间的关系。

    首先是公理化。我们都很清楚，数学就是一座建立在公理基础上的大厦。下面我以自然数的算术公理——皮亚诺公理作为例子阐明公理化的具体体现及其影响。

    前四个公理定义了全体自然数，第五个则体现了数学归纳的思想，将单个数的性质推广到全体自然数。单有数是不够的，在此基础上，数学家还定义了加法。

    k'表示的是数k的后继（在我们的认识中就是k+1），（a）给出了0的性质，（b）给出了数n的性质，两者结合可推广到全体自然数的加和。根据这个定义，n“加”k的后继等于n“加”k的和的后继，例如2+2=1'+2=(1+2)'=(0'+2)'=((0+2)')'=((2)')'，即是说2+2等于2的后继的后继（也就是4）。它实际上将加法定义为一种逐步取后继的算法，同理我们可以引入乘法的定义。当引入减法和除法时，我们发现计算结果有可能不是自然数，于是再定义负数、分数，最后又有了无理数和虚数，逐步构成了我们所认识的复数算术的全貌。

    从前面这个例子可以看出，数学的公理化系统使得数学完全地建立在寥寥几条公理和附加的定义之上。如亨佩尔所说“全部数学内容都能从皮亚诺的朴素系统中导出——这是在使数学内容系统化和阐明数学的有效性的基础时的一个卓越的成就”*。所有我们已知的数学内容的有效性都来源于几条自明的公理和逻辑推演。

    以少数的几条公理构成的坚实地基作为支撑，辅以逻辑钢筋的约束，数学的混凝土拔地而起，构成一座钢铁大厦，占据了一片大地与天空。

    其次我要讲讲数学的纯粹性。我们的自然语言裹挟着大量的经验内容，还有着巨大的不确定性。以苹果这个概念为例，它在我们的心灵中唤起了它的色彩、触感、气味、酸甜的口感甚至于个人好恶。这个概念参杂着我们的个人经验，在一定程度上表现了我们对于同一样事物的不同的自然理解。因此，当我们使用自然语言去交流时，主体间的差异就会立即显现，你说的黑不是黑，你说的白是什么白？无人知晓。更重要的是，当我们使用自然语言去进行推理时，概念的模糊与其他要素（语音语调、非言语行为等）的加入，推演过程的失真严重限制了我们去通达经验之外的结论。当然，自然语言不在我们的讨论之内，这里不再赘述。

    数学与自然语言不同，它独立构建了属于自身的概念体系。我们在学习数学时肯定用了自然语言，但要注意的是这里的自然语言失去了它原有的经验概念。下面以“连续”概念为例来考察数学中的概念。

“

考虑函数

。假设是 的定义域中的元素。函数 被称为是在 点连续当且仅当以下条成立：对于任意的正实数 ，存在一个正实数 使得对于任意定义中的，只要 满足 ，就有 成立。

”

    数学的定义如上。那么我们日常中对连续的定义是什么呢？我想一般是指长条形物体没有断开，或事件的发展在时间上接连不断。以经验概念来看，函数的连续应该是指函数图像接连不断。那么我们来考虑一下黎曼函数这个例子。

当 ( 都属于正整数， 为既约真分数)时，；

当 和无理数时，；

    这个函数的图像是由无限个离散的点构成的，根本与我们经验概念中的“连续”搭不上边。然而事实是，由数学概念出发，可以推出黎曼函数在无理数点处连续。这不仅与“接连不断”这个经验概念不符，更提出了在一点处连续的反直觉的结论。

    无论是在中国古代发展起来的大衍之数，还是古希腊的毕泰戈拉所宣称的“数目的元素是就是万物的元素，认为整个的天是一个和谐，一个数目”*，古代的数学充满了经验内容。在数学的公理化的过程中，它洗去了感性内容，抛弃了自然语言中的经验概念，重建了自身的概念网络，抽象、证明、推理成为了数学的主旋律，实现了数学大厦的自治。陈嘉映先生直言“人们逐渐学会了从完全的外在性来把握数字，形成了科学的数学”*。我把数学将经验内容抛弃、建立自身概念网络的特点称为纯粹性。

    最后是精确性。我们的自然语言无法将我们带到经验之外的地方，原因在于逻辑推理过程中发生的失真。数学不同，数学为自身搭建起了一个完全由一层地基支撑的钢铁大厦，它的秘诀在于长程推理的不失真。

    还是以“连续”为例，请你回想一下是否记得“e^x连续”是如何推导出来的？e的定义、（1+1/x）^x的函数极限……这些一步步的推导得到了最终的结果，并使得结果的正确性完全由公理和逻辑的正确性来决定。假若我们站在大厦的底端，看着几条自明的公设和定义，根本看不到通往“e^x连续”的道路。这是我们所不能利用直觉所设想的，而这样长距离的推理更是反直觉、难以被感性所掌握的。这就是数学的一体两面，纯粹使得它能够长程推理而不失真，而又使得这一过程为感性所不容。

    最后来总结三者的关系。公理化使得数学具有了建立自身概念网络的可能、纯粹性保证了精确性、而精确性保证了公理地基能搭建起一座完整且不断向上延伸的大厦。

3.数学的可能

    数学所具有的三个特点使得它可以被运用于实证科学。

    纯粹性使得数学脱离了经验内容，获得了普适性。数不仅仅是一个表示事物数量的概念，它可以被同等地应用在对长度、速度、质量的度量中而不受到任何阻碍。我们在用数学来描述自然世界的过程中，实际上构建了一个与我们所观察到的世界——或称“现象世界”——不同的理念世界。试着联想一下柏拉图的洞穴暗喻和他的理念论，我们所经验的“阴影”、“火光”是现象，而真正导致这些纷繁复杂的现象的本质原因，在于洞穴外的阳光、火把，也就是数学原理。数学原理没有经验内容，能够独立于现象世界，通过独立于时间而成为不变的规律；但它又操控着现象世界，算术与逻辑赋予了不变的数学关系以无限的可能，从而得到了对自然的极强的解释力。无论是物体运动、分子碰撞还是遗传变异，数学关系都参与其中且恒定不变，向我们揭示着世界的“根本机制”。我们将数学应用于实证科学来源于这样一个信仰：“当理论替代理论，范式推翻范式的时候，有一样东西是经久长存的：数学关系。大自然的规律是数学规律。上帝是几何学家”*。

    精确性使得数学关系可以经过长程推理得出有效的结论。牛顿运动定律和万有引力定律可以描述苹果的下落过程，经过运算与推理，也一样可以描述天体的运动甚至于宇宙的收缩与膨胀。这些是我们的经验所不能达到的领域，但数学推导为我们吹散经验的迷雾，架设了通向日常经验之外的梯子。同时，推理的有效性使得各个结果具有逻辑上的相恰，实证科学由此形成了全面的自洽的体系，解释着我们的经验，也昭示着我们不可经验处的现象。

    在数学的帮助下，科学走向了对现象的产生机制的描述，向下击穿现象世界的地表，向四周拓展它们的解释疆界，最终形成了我们今天所能看到的复杂而精巧的理论。以库恩的一句话结尾吧：“最后，分崩离析的亚里士多德宇宙被一种全面而融贯的世界观所取代，人类自然概念的发展进入新的篇章”*。

END

注释：

康德引言：《自然科学的形而上学基础》 邓晓芒/译

亨佩尔引言：《论数学的真理性》  摘自 《数学哲学》 保罗·贝赛拉夫 希拉里·普特南/编

毕泰戈拉主张：亚里士多德 《形而上学》

陈嘉映引言：《哲学·科学·常识》

“……上帝是几何学家”：斯图尔特 《混沌之数学》 潘涛/译

库恩引言：《哥白尼革命》 吴国盛 等/译

参考资料：

1.陈嘉映 《哲学·科学·常识》 中信出版社

2.《数学哲学》 同上书

3.《西方哲学原著选读（上卷）》 商务印书馆

  (不会真有人看吧)