对于一个
的矩阵
，有四个基本的子空间
- ①它的列空间可以表示为:
)
，假设维度为
；
- ②它的零空间可以表示为:
)
，零空间是矩阵的行空间的正交空间，维度为
；
- ③它的行空间可以表示为:
)
，矩阵的行向量转置后变成列向量，所以矩阵行向量构成的行空间在矩阵转置后对应矩阵的列空间，进而表示为转置矩阵的列空间，维度等于矩阵列空间的维度也就是矩阵的秩；
- ④它的左零空间
)
，指的是矩阵转置后，其列向量变成了行向量，转置矩阵构成的线性方程组
的解
所构成的向量空间就是矩阵的左零空间，它是矩阵列空间的正交空间，维度等于
。
左零空间的"左"释意
一个矩阵的左零空间是矩阵的列空间的正交空间，矩阵转置后原矩阵的列空间变为行空间，建立线性系统，则这个线性系统的解就是原矩阵列空间的正交空间，也称为左零空间；
求矩阵的转置的零空间，建立如下线性系统
%5E%7BT%7D%20%3D%200)
可以看到，化简到最后，求矩阵的转置
的零空间，化成了与直接与矩阵A关联的线性系统，相比直接求矩阵的零空间右乘的形式
,线性系统的解
左乘了矩阵，所以，称矩阵的转置的零空间为矩阵的左零空间。
研究四大子空间的意义
总结：这一章节学习了矩阵的四大子空间。研究子空间的一个最主要的原因就是子空间的维度相比原空间更低，维度越低意味着空间越简单，如果能够保留关键信息直接降维到二维，或三维，我们就能进行更直观的可视化分析。在数据分析中，高维的数据存在计算性能低，分析的结果也可能不够好（维度灾难）这样的问题。所以如果能在降维，找到更低维度的空间，在这个空间来表示这些数据，且误差并不多的话，那么在这个子空间里研究高维数据效果会更好一些。
。
矩阵子空间的一些应用示例
在真实世界中，很多问题的本质就是求解线性系统
，求出其中的。不过由于面对真实问题时，我们采样的时候会不断的采很多样本，因为我们倾向于认为样本越多越能反映总体的真实情况，所以这样建立的矩阵就会非常庞大，这就是所谓的大数据。通常采样结果结果组成的矩阵中，行记录是采样的样本，列记录的是每个样本的特征，而我们想要探究的就是样本的
和我们想要探究的
之间的关系，这个
指的就是
，这个关系就是求解得到的。
在真实问题中，采集大量样本导致矩阵的行数大于列数，意味着方差的个数远远大于未知数个数，在这种情况下，由于数据偏差，方程之间就容易出现矛盾，因此真实情况建立的线性系统通常是无解的。 线性系统无解可能对应两种情况，要么是因为数据采集误差导致无法求解，要么就是我们探究的模型
本身不准确，或者说特征与探究的结果之间本应该是非线性关系，结果我们套用了线性模型所以无法求解，但其实并不是问题本身无解。
当我们并不需要一个十分精确的解，只需一个接近解也足够用于研究的情况下。对于，单单对于
来说，其实表示的就是矩阵的列空间，从向量乘法看表示成中的未知数与矩阵的列向量相乘再相加的形式
，而这个表示形式的就是矩阵A的列向量的生成空间。既然是矩阵的列空间，继而线性系统的求解问题可以理解成在这个列空间中找到向量，如果向量在矩阵的列空间中的话，那么就肯定会有一个或多个与它相对应。所以在获取一个实际线性问题的近似解的时候，通常是在矩阵的列空间中找到一个离最近的
，而这个离最近的其实就是在的列空间中的投影，转而求解线性系统
的解来近似。
