小波变换 - 简书

Chapter 7 小波变换

章节目标

理解什么是小波，小波变换？为什么要提出小波这个概念？

背景介绍

小波是一个数学工具，相比于数学久远的历史，小波是一个年轻的学科：
- $1900$ ——希尔伯特的复变分析
- $1910$ ——哈尔提出了规范正交基的概念
- $1984$ ——Morlet在研究地震时提出了小波的概念
- Grossman对Morlet的信号按一个确定函数的伸缩、平移系进行了研究，为小波分析的形成开了先河。
- Mayer找到了小波的正交基
- Daubechies找到了紧支集的正交小波基
- Mallat提出构造小波基的一般方法：多分辨率分析
傅立叶变换
- 傅立叶(逆)变换的公式：
$F(\omega) = \int f(t)e^{-j \omega t}\textrm{d}t \quad f(t) = \frac{1}{2\pi} \int F(\omega)e^{j \omega t}\textrm{d}t$
- 调和信号：
  $e^{j \omega t} = \cos (\omega t) + j \sin (\omega t)$
- 观察上面的两个公式可以看出傅立叶变换其实相当于将时域的信号在频域展开，而逆傅立叶变换相当于用频域成分恢复时域信号。观察逆傅立叶变换我们会发现它和傅立叶级数很像，由此是不是可以将 $F(\omega)$ 类比为 $f(t)$ 的傅立叶系数呢，那么傅立叶变换是不是就是相当于求傅立叶系数的过程呢？
- 傅立叶变换实际上相当于将调和信号的频率和实际信号相比较，如果实际信号中有相应的频率，则对应的变换系数就会比较大，反之就会比较小甚至为 $0$ 。下面两幅图就很好的印证了这一点。
  
  时域信号
  
  频域信号
- 傅立叶变换可以准确地知道信号中含有哪些频率成分，但不知道这些成分发生的时间或位置。由于这一特性傅立叶变换适合分析稳态信号，但是非稳态信号分析中需要知道什么频率载什么时候发生，特定频率发生的位置，傅立叶变换不能很好的胜任。

非稳态信号傅立叶分析

傅立叶变换的局限性
- 时间信息损失：什么时候特定的事件发生？
- 位置信息损失：傅立叶变换不能确定某一事件的漂移、趋势、突变、起始和结束等。
- 傅立叶变换分析时全局性的分析，难以分析局部信号特征
- 傅立叶变换分析瞬态信号或者高度局部化信号时，频谱会呈现一幅相当混乱的构成。

Gabor变换(短时傅立叶变换——STFT)
- 为了克服傅立叶变换的缺点，人们提出了许多改进方法，STFT便是其中之一。
- 以一维情况为例，STFT的思路是：既然傅立叶变换的局限性之一是它是一种全局变换，不能很好的确定某一事件发生的事件，那么我们就人为地将一个信号切分成许多小段，对每一小段进行傅立叶变换，这样就能大概清楚某一事件发生的时间了，小段划分的时间越短，就越能精确知道事件发生的时间。
- STFT的步骤：
  1. 选定一个有限窗口
  2. 将窗口放置于信号的起点
  3. 计算窗口内信号的傅立叶变换
  4. 将窗口向右移动一个距离
  5. 重复 $3,4$ 两步，直至到达信号末尾，由此得到每个时间段内信号的频率成分。
- 由上面的步骤，可以知道STFT分析之后的结果一般如下图所示：
  
  左下角的格子图是很经典的表达，横坐标的一格就是我们选择的窗长，对应的纵坐标就是窗口移到这一段时，窗口内信号的傅立叶变换，由于傅立叶分析是全局性分析，这时窗口内的信号就相当于全局信号，所以频率分布会占满整个纵坐标，其实就相当于将一幅幅傅立叶谱在时间维度拼接起来。
  
  STFT谱
- STFT变换的特征：
  - 实现了对于信号的频率与时间观察的折衷。
  - 无论时间还是频率的观察均为有限精度；整体精度取决于窗口尺寸。
  - 一旦窗口尺寸确定，将作用于所有频率——还不够灵活
小波变换
- 为了进一步提高分析的灵活性，出现了小波变换，这是一种采用频率不同、位置不同、宽度有限的基函数的变换。
- 什么是小波？小波是一种具有有限区间和零均值的波。
- 从傅立叶变换到小波变换
  
  傅立叶变换：
  $F(\omega) = \int f(t)e^{-j \omega t}\textrm{d}t$
  意味着信号在所有时间区间与复指数相乘，结果产生傅立叶系数，按照傅立叶系数，可以将原信号分解为不同频率的组合。
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小波变换：

结果产生小波变换系数，按照小波系数，原始信号分解为不同小波的组合。

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不论是傅立叶变换还是小波变换，两者的核心都是将任意信号分解成为一系列基函数的线性组合，不同的只是所用的基函数不一样。
- 小波变换的步骤
  1. 确定一个小波基
  2. 将小波基置于信号的起点，计算相应的小波变换系数
  3. 将小波基平移一个距离，计算相应的小波变换系数，直至信号末尾
  4. 对小波基进行缩放操作，重复 $2, 3$ 操作
  5. 对所有尺度的小波重复 $1$ 到 $4$ 步
- 连续小波变换
  - 基本小波：
    - 基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零得条件：
      $\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(t){\rm d}t = 0$
    - 同时其频谱 $\Psi(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi(t)e^{-j\omega t}{\rm d}t$ 满足条件：
      $C_{\Psi} = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{|\Psi(\omega)|^{2}}{\omega}{\rm d}\omega < \infty$
    - 上述两个条件可以概括为：小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。
  - 小波基函数
    - 通过对基本小波进行尺度上的伸缩和位置上的移动，可形成一系列小波函数——小波基函数
    - 一组小波基函数是通过尺度因子和位移因子由基本小波来产生的：
      $\Psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}}\Psi(\frac{t-b}{a})$
      其中： $a$ ——尺度系数， $b$ ——位移系数。可以看到，在基本小波给定的情况下，小波基函数完全由 $a, b$ 决定，其中伸缩变换除了改变基本小波的宽度之外还会改变其幅度。
  - 连续小波变换和其逆变换
    - 连续小波变换定义：
      $W_{f}(a,b) = \langle f,\Psi_{a,b}(t) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\Psi_{a,b}(t){\rm d}t = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\Psi(\frac{t-b}{a}){\rm d}t$
    - 连续小波变换的逆变换定义：
      $f(t) = \frac{1}{C_{\Psi}}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} W_{f}(a,b)\Psi_{a,b}(t){\rm d}b\ \frac{{\rm d}a}{a^{2}}$
      其中： $C_{\Psi} = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{|\Psi(\omega)|^{2}}{\omega}{\rm d}\omega < \infty$ 为存在逆变换的前提条件。
  - 连续小波变换的深入讨论
    - 观察 $L^2$ 空间内的内积函数：
      $\langle f(t), g(t)\rangle = \int f(t)g^{*}(t){\rm d}t$
      以及互相关函数：
      $R_{x,y}(\tau) = \int x(t)y^{*}(t-\tau){\rm d}t = \langle x(t), y(t-\tau) \rangle$
      
      可有
      $W_{f}(a,b) = \langle f(t), \Psi_{a,b}(t) \rangle = \langle f(t), \Psi_{a,0}(t-b) \rangle = R_{f, \Psi_{a,0}}(b)$
      所以 $W_{f}(a,b)$ 可以看作是信号 $f(t)$ 与小波基本函数在尺度因子 $a$ 和位移因子 $b$ 时的互相关函数。
    - 如果信号在特定的尺度因子 $a$ 和位移因子 $b$ 下与基本小波函数具有较大的相关性（相似性），则 $W_{f}(a,b)$ 值将较大。类似于之前分析傅立叶变换时，若信号中含有特定频率，那么相应的傅立叶变换系数将较大。
    - 回忆线性系统输入输出关系：
      $y(t) = x(t) * h(t) = \int x(\tau)h(t-\tau){\rm d} \tau$
      观察：
      $W_{f}(a,b) = f(b) * \Psi^{*}_{a,0}(-b)$
      对于任意给定的尺度因子 $a$ （频率~ $\frac{1}{a}$ ），小波变换 $W(a,b)$ 为输入信号作用于具有 $\Psi^{*}_{a,0}(-b)$ 响应函数的滤波器输出。
      
      小波变换定义了一组由尺度因子 $a$ 规范的连续滤波器组，这便是小波变换的滤波器解释，每个滤波器的输出分量再次滤波并适当伸缩组合之后在一起可重构 $f(x)$ 。
  小波变换的滤波器解释
  - 连续小波变换和傅立叶变换的比较
    
    例子：对于具有微小间断的正弦波，傅立叶变换和小波变换的结果如下
  具有间断的正弦函数
  
  傅立叶变换和小波变换的结果
  - 几种典型的一维小波
    - Mexican Hat Wavelet
    - Haar Wavelet
    - Morlet Wavelet
    - Daubechies
    一维小波
    
    二维小波
  - 小波变换参数的深入分析
    - 尺度因子—— $a$ ：小波的尺度变换意味着对小波进行“拉伸”或“压缩”，尺度某种程度上类似于频率（频率~ $\frac{1}{a}$ ）。尺度因子 $a$ 越大，对应的频率就越低，反之 $a$ 越小，对应的频率就越高。
  尺度因子
  - 位移因子—— $b$ ：延迟或者加速小波，数学上，延迟一个函数 $f(t)$ 表示为 $f(t-k)$ 。
位移因子
- 离散小波变换