四棱锥：2017年理数全国卷B题19
分值：12分
如图，四棱锥 中，侧面
为等边三角形且垂直于底面
，
，
是
的中点.
（1）证明∶直线 //平面
;
（2）点 在棱
上，且直线
与底面
所成角为
，求二面角
的余弦值.
2017年理数全国卷B
【证明问题1】
作 中点
，并连接
.
∵ 是
的中位线，
∴ 且
∵ ,
∴
∵ 且
,
∴ 且
∴ 是平行四边形，
,
又∵ 平面
,
∴ 直线 //平面
. 证明完毕.
【证明问题2】
取 中点
，并连接
.
在平面 内作
, 交
于点
.
∵ 为等边三角形,
为
中点，
∴ ,
又∵ 侧面 平面
，
∴ 平面
.
∵ , ∴
平面
.
∴
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴
∴
令 , 并设
, 依据勾股定理可得方程：
作 于
, 则
,
是二面角
的平面角.
依据勾股定理，
二面角 的余弦值
【提炼与提高】
问题1的解答用到了：
（1）三角形的中位线性质
（2）平行四边形的性质
问题2的解答要点在于，将空间的问题转化为平面几何问题，用几何方法解决。
转化的关键在于抓住模型的基本特点： 是正三角形；
是等腰直角三角形；
.
除了几何方法，还可以用向量方法解答此问题。
