知识线索
数学思维是我们在上一周讲到的几种最基本的思维工具之一。我们在数学知识中，要特别关注那些简单而深奥的思想，这是最能提升我们推理能力的。掌握这些简单而深奥的数学知识，就能让你戴上一副X射线眼镜，帮你透过现实世界错综复杂的表面现象看清本质。有一些从直观来看会犯错误的事情，如果仔细地用数学思维推理，就不会出错了。我们讲了“失踪的弹孔”的故事，让你掌握了“幸存者偏差”这个重要的概念，希望你能够举一反三。
知识内容
1.你最该学习的数学知识
我们本周的精读书是著名数学家乔丹·艾伦伯格的《魔鬼数学》。艾伦伯格告诉我们，数学知识可以分为四个象限。我们只需要重点关注其中的一个象限就行。我们只需要重点学习简单而深奥的数学知识。
数学知识分为哪四个象限呢？第一个象限是简单而浅显的数学知识。比如说，我们在小学学的算术，1+2=3，3*7=21。还比如，我们在中学学过的三角函数，sin2x=2sinxcosx。这些数学知识看起来更为复杂，但从理解的难度上来讲，其实也是非常简单的。
第二个象限是复杂但是浅显的数学知识。比如说吧，乘法不难学，但是要是让你计算多位数的乘法，就非常繁琐了。我们在大学里学的复杂定积分的计算，也是这个类型的。这些数学需要一些解题技巧，需要更细心，但是，这些仍然只是浅显的数学知识。如果有了计算器，你其实并不需要学习那些多位数乘法的简便算法。我们在学校里花费了大量的时间学习解题技巧，其实对于领会数学的美并没有帮助，相反，可能还让我们对数学倒了胃口。
第三个象限是复杂而且深奥的数学知识。这是专业从事数学研究的人感兴趣的领域，我们可能听过一些名字，比如黎曼假设、费马最后定理、庞加莱猜想、哥德尔定理等等，但怎么证明这些难题，这些难题到底意味着什么，我们并不清楚。要想进入这个领域，你需要一定的数学天分，而且，你必须非常投入，付出艰辛的努力，一辈子孜孜以求。我们普通人可能只能在门口往里面瞄一眼，里面的神秘世界是什么样子的，我们并不清楚。这个领域的知识是供我们这些普通人膜拜的。
前三个象限的数学知识对我们来说，或者太容易，或者太难，或者太繁琐，都不需要我们特别留意。对于我们这些普通人来说，最值得学习的是第四个象限的数学知识，也就是简单而深奥的数学知识。为什么说简单呢？因为这都是入门的知识。为什么又说深奥呢？因为这些知识是违反我们的直觉的，或是需要我们更缜密地推理的。有哪些是简单而又深奥的数学知识呢？艾伦伯格讲到，比如对随机性的理解、对因果关系的理解、对回归的理解，都属于这一类。
2.故事：失踪的弹孔
为什么学习这些数学知识对我们有用呢？我来给你讲一个失踪弹孔的故事。
在第二次世界大战期间，美国军方在哥伦比亚大学建立了一个秘密研究小组，叫统计研究小组。它的任务是组织美国的统计学家为打赢第二次世界大战服务。这个小组里牛人无数，比如我们熟悉的控制论的创始人诺伯特·维纳（Norbert Wiener），还有后来得过诺贝尔经济学奖的米尔顿·弗里德曼。不过，在这个牛人无数的小组中，天赋最高的并不是他们，而是一位叫亚伯拉罕·瓦尔德（Abraham Wald）的数学家。
有一次，军方给这群数学家出了一道题。在打仗的时候，为了不让自己的飞机被敌人的战斗机击落，需要给飞机装上装甲。但是，装甲会增加飞机的重量，这样飞机的机动性就会减弱，还要消耗更多的燃油。因此，需要解决的问题是，怎样在防御性能和飞行性能之间找一个平衡点。军方希望数学家帮助他们搞清楚，在哪里加强装甲防护是最合适的。
军方给数学家提供了很多数据。美军的飞机跟敌军的飞机交火之后返回基地，飞机上会留下来很多弹孔。军方发现，在返航的飞机上，机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多。因此，军方认为，最应该加强防御的是飞机的机身。他们想让统计学家研究一下，为了保护飞机，机身需要增加多少装甲。
瓦尔德给出的答案却和军方最初的想法大不一样。瓦尔德认为，需要加装装甲的地方不应该是弹孔多的部位，而应该是弹孔少的部位，也就是飞机的引擎。为什么会是这样呢？我们先从一个理论假设来看。从理论上来说，飞机各个部位中弹的概率应该是一样的。那么，为什么返航的飞机机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多呢？换言之，引擎上本来应该有的弹孔去哪里了？瓦尔德认为，这是因为引擎被击中的飞机都坠毁了。回来的飞机，机身上尽管留下了很多弹孔，却仍然能够经得住打击，所以才能安全返航。打个比方来说，如果我们到战地医院去统计受伤的士兵，你会发现，腿部中弹的士兵肯定比脑部中弹的士兵要多。脑部中弹的士兵很少能够活下来，腿部中弹的士兵才有更大的概率存活。
从这个故事我们能够学到什么呢？瓦尔德拥有的空战知识肯定不如美军的军官，但他却能看到军官们无法看到的问题。这就是因为瓦尔德有数学思维。军官们犯的错误在于，他们假设返航的飞机是所有飞机的随机样本。但事实上，这是不对的。
3.幸存者偏差
数学家把这种失误称为“幸存者偏差”，也就是说，你只看到了幸存下来的，却没有看到那些已经失败和消亡的。
我们再来举两个例子。比尔·盖茨没有上完大学就退学了，但他成了世界首富。那么，我们能不能说，干脆就不要上大学了？不上大学不是一样能够成功？恐怕不能这么讲。假设没有上过大学和上过大学的人成功的概率是一样的，那么，我们应该能够看到更多没有上过大学的成功企业家。但是，为什么我们看到的上过大学的企业家更多呢？那些失踪的没有上过大学的企业家哪里去了？很简单，因为他们失败了。上大学并不一定能够保证你成功，但大学教育会降低你失败的概率。当然，这不一定是因为你在大学学到了有用的东西，更有可能是因为整个社会对没有上过大学的人更歧视，但不管如何，头脑一冲动就想退学去创业，未必是一个好主意。
我们再来看看金融市场。有很多基金声称自己的年均收益率很高，但我们要长个心眼。金融市场是个成王败寇的江湖，如果一个基金的收益率低了，很容易遇到赎回的压力，有的基金就会被迫清盘，可实际上他们和幸存下来的基金水平差不多，只不过是运气不好而已。事实上，有一个研究表明，如果比较幸存下来的基金，和包括已经消亡的基金在内的所有的基金，你就会发现，幸存基金的收益率大致被高估了20%左右。
