【笔记】视觉算法——图像平滑

时域平滑

每幅图像都包含某种程度的噪声，可以将噪声看成灰度值的随机变化。
$\hat{g_{r,c}}=g_{r,c}+n_{r,c}$
$g_{r,c}$ 表示 $r$ 行 $c$ 列真正的像素值， $n_{r,c}$ 表示噪声。我们可以认为噪声是服从均值为0，方差为 $\sigma$ 的正态分布。

原始图像

因此我们可以利用不同时间采集得到的多福图像，对真实像素进行估计，即：
$g_{r,c}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\hat{g_{r,c}};i$

根据概率论可知方差变为原来的 $\frac{1}{n}$ .

多幅图求均值.png

时域平均法的缺点就是多幅图像才能进行噪声抑制。在对速度要求很高的情况下并不适用。

空间平均法

$g_{r,c}=\frac{1}{(2n+1)(2m+1)}\sum_{i=-n}^n \sum_{j=-m}^m \hat{g}_{r-i,c-j}$

也被称为均值滤波器，在 $(2n+1)(2m+1)$ 的窗口中进行平滑操作。噪声方差下降到原来的 $\frac{1}{(2n+1)(2m+1)}$ .但是空间平均法平滑的边界没有时域的锐利。

空间平均法.png
如果我们单纯按照此方法进行均值滤波，需要 $(2n+1)(2m+1)$ 次操作。因此我们应当降低运算次数。采用加法结合律：
$g_{r,c}=\frac{1}{(2n+1)(2m+1)}\sum_{i=-n}^n \left( \sum_{j=-m}^m \hat{g}_{r-i,c-j} \right)$
因为有一部分是计算重复的，我们可以先计算所有局部的列相加的和保存到一个临时图像中。然后在临时图像中将所有行相加。所以复杂度从 $O(whnm)$ 下降到 $O(wh(n+m))$ 这种滤波器有它独特的名字：可分滤波器。其实还有更快的方法。
如果用 $t_{rc}$ 表示纵向的和。就有：
$t_{r,c}=\sum_{j=-m}^m \hat{g}_{r,c-j}=t_{r,c-1} +\hat{g}_{r,c+m}- \hat{g}_{r,c-m-1}$
$r,c$ 处的和可以基于已经计算出来的位置 $(r，c-1)$ 处的和以及两次加法得到。这个规则同样适用于横向。这个规则下，我们只需要在第一列和第一行上计算完整的和。时间复杂度下降到了 $O(wh）$ 。这种重要的变换也有自己的重要的名字。叫做递归滤波器。均值滤波器是线性滤波器的一个例子。线性滤波器可用卷积操作来计算。一维卷积操作为：
$f*h=(f*h)(x)= \int_{- \infty}^{\infty} f(t)h(x-t)dt$
这里 $f$ 表示图像函数。滤波器为 $h$ 。此函数被称为掩码卷积和。同理二维卷积操作为:
$f*h=(f*h)(r,c)= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty}f(u,v)h(r-u,c-v)dudv$
对于离散域上的函数。积分被求和取代。
$f*h= \sum_{i=- \infty}^{\infty} \sum_{j=- \infty}^{\infty}f_{i,j}h_{r-i,j-c}$
卷积核可以分解为 $h_{r,c}=s(r)t(c)$ 。可以提出因子 $s$ ：
$f*h= \sum_{i=- \infty}^{\infty} \sum_{j=- \infty}^{\infty}f_{i,j}h_{r-i,j-c}= \sum_{i=- \infty}^{\infty} \sum_{j=- \infty}^{\infty}f_{i,j}s_{r-i}t_{c-j} = \sum_{i=- \infty}^{\infty}s_{r-i} \left( \sum_{i=- \infty}^{\infty}f_{i,j}t_{c-j} \right)$
递归滤波器与均值滤波器有相同的速度优势。运行时间和滤波器的尺寸无关。

参考：《机器视觉算法与应用》

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空间平均法

参考：《机器视觉算法与应用》

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