5.对流换热微分方程组推导

对流换热微分方程组

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1.在导热阶段，我们利用封闭系统的能量守恒(这里的大Q单位为焦耳，热流密度的小q单位为瓦特每单位面积)

$Q=\Delta E+W\text{（做功）}$

2.对流不封闭，区分当地的流体+溜出去的流体

3.[导入与导出的净热量]+[热对流传递的净热量]+[内热源发热量]=[当地系统能量的增量]+[对外做体积功]

也就是[扩散项]+[对流项]+[源项]=[非稳项/时间项]+[做功]

$Q=Q_{导热}+Q_{对流}+Q_{内热源}$
$\Delta E=\Delta U_{热力学能}+\Delta U_{K(动能)}$

区别与联系

(回顾导热微分方程式的推导， $Q=\Delta U+W\text{（体积功）}$ ,是因为导热无运动，这里改写为 $Q=\Delta E+W$ ,是因为对流有运动，包含了运动中动量动能的改变，多了一项动能变化;而W中的体积功，导热只会有可能膨胀做体积功，对流有运动，体积力做功与表面力做功)

$力=体积力（重力、电磁力）+表面力(压力_{作用在法线,静态液体也有压力}、切向应力_{流体流动产生动能+粘性耗散发热 \mu \Phi})$

压力做的功：①变形功；②推动功

热流密度×面积(dydz)×单位时间

$dQ=q_x\cdot dydz\cdot d\tau \tag{1}$

其中热流密度的单位是W每平方米，热力学的单位是焦耳，所以热流密度乘以面积乘以时间是功的单位

那么 $dQ_{x+dx}=q_{x+dx}\cdot dy\cdot dz \cdot d\tau \text{(单位为焦耳)} \tag{2}$

为了简化，做一下假设

(1)流体热物性为常量；

(2)流体不可压缩，一般工质可忽略压缩(空气小于66米/秒的时候认为不可压缩)

$\require{cancel} 压力做的功：\cancel{①变形功}；②推动功$

(3)一般工程问题流速低,动能的变化=0，耗散热=0(航空航天无法忽略)

$\require{cancel} \Delta E=\Delta U_{热力学能}+\cancel{\Delta U_{K(动能)}}\\ \cancel{\mu \Phi耗散热=0}$

(4)无内热源

$\require{cancel} Q=Q_{导热}+Q_{对流}+\cancel{Q_{内热源}}$

简化后， Q只有导热+对流的热能变化， $\Delta E$ 为热力学内能+推动功（热力学能+推动功就是焓）

$Q_{导热}+Q_{对流}=\Delta_{热力学能}+推动功=\Delta H\tag{1}$

4.能量核算，(导进入-导出去=导热的净热量)+（流进-流出=对流的净热量）=（当地控制体的焓变）

以二维对象为例子，我们已经熟悉了导热的推导，单位时间所以用 $\Phi$ (瓦特)代替Q(焦耳)作为热流量

用热流量 $\Phi '$ 的代替 $Q_{导热}$ ,用 $\Phi ''$ 代替 $Q_{对流}$

4.1导热

单位时间内、沿x方向导入与导出微元体的净热量

$\Phi '_x-\Phi '_{x+dx}=\Phi '_x-(\Phi '_x+\frac{\partial \Phi'_x}{\partial x}\cdot dx)\text{泰勒展开}=-\frac{\partial \Phi'_x}{\partial x}\cdot dx=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}dxdy \text{(热导率为常物性)}\tag{2}$

单位时间内、沿y方向导入与导出微元体的净热量(同样的，就改变一下符号)

$\Phi '_y-\Phi '_{y+dy}=\Phi '_y-(\Phi '_y+\frac{\partial \Phi'_y}{\partial y}\cdot dy)=-\frac{\partial \Phi'_y}{\partial y}\cdot dy=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}dydx \tag{3}$

x方向和y方向的导热净热量加起来(2)+(3)=(4)

$\Phi_{导热}=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}dxdy+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}dydx\tag{4}$

4.2对流,规定x方向流速为u，y方向上位v [其中u,v都为(x,y)的函数,为什么？]

001.png

单位时间内、沿x方向热对流传递到微元体的净热量（传递）：

流体进来的能量或者是焓变=质量流量×热容×温度(以绝对零度为基准)
$微元体质量流量=密度×体积流量=密度×流速×截面积\\ \therefore M_x=\rho u\cdot dy\cdot 1\\$
$\Phi ''_x=C_p\cdot M_x\cdot t=C_p t\rho udy=\rho C_p(ut)dy\text{(速度场与温度场耦合)}\tag{5}$
带出去的,可以用泰勒公式微分表达
$\Phi ''_{x+dx}=\Phi ''_x+\frac{\partial \Phi''_x}{\partial x}\cdot dx$

流进-流出,(5)式带入上式

$\Phi ''_x-\Phi ''_{x+dx}=\Phi ''_x-(\Phi ''_x+\frac{\partial \Phi''_x}{\partial x}\cdot dx)=-\frac{\partial \Phi''_x}{\partial x}\cdot dx=-\rho C_p\frac{\partial(ut)}{\partial x}dxdy-\tag{6}\text{(密度和比热是常数)}$

同样道理，单位时间内、沿x方向热对流传递到微元体的净热量（传递）：

$\Phi ''_y-\Phi ''_{y+dy}=\Phi ''_y-(\Phi ''_y+\frac{\partial \Phi''_y}{\partial y}\cdot dy)=-\frac{\partial \Phi''_y}{\partial y}\cdot dy=-\rho C_p\frac{\partial(vt)}{\partial y}dydx\tag{7}\text{(速度场u替换为v)}$

(6)+(7)就是两个方向对流导入的净热量总和

$\Phi_{对流}=-\rho C_p\frac{\partial(ut)}{\partial x}dxdy-\rho C_p\frac{\partial(vt)}{\partial y}dydx\tag{8}$

对比一下(4)式,可以发现导热的二阶偏导项前面没有负号，对流的一阶偏导项有负号,为什么？

导热的净热量被出去的流体带走了（假设是稳态，没有非稳项与内热源）

$\Phi_{导热}=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}dxdy+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}dydx\tag{4}$

4.3假设非稳，是该控制体，单位时间内微元体内的焓增量 $\Delta H'$ :

质量=密度×体积
焓=质量×比热= $\rho \cdot dxdy\cdot C_p \cdot t$
单位时间的变化量
$\frac{\partial(\rho \cdot dxdy\cdot C_p \cdot t)}{\partial \tau}=\rho C_p\frac{\partial t}{\partial \tau}dxdy$
另外一种方式:
$mC_p\frac{\partial t}{\partial \tau}=\rho dxdyC_p\frac{\partial t}{\partial \tau}=\rho C_p\frac{\partial t}{\partial \tau}dxdy\tag{9}$

4.4微元体能力守恒 $\Phi_{导热}+\Phi_{对流}=\Delta H'$ ,(4)+(8)=(9)

$\require{cancel} \lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}\cancel{dxdy}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}\cancel{dydx}-\rho C_p\frac{\partial(ut)}{\partial x}\cancel{dxdy}-\rho C_p\frac{\partial(vt)}{\partial y}\cancel{dydx}=\rho C_p\frac{\partial t}{\partial \tau}\cancel{dxdy}$
变形,正负号移动
$\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p\frac{\partial t}{\partial \tau}+\rho C_p\frac{\partial(ut)}{\partial x}+\rho C_p\frac{\partial(vt)}{\partial y}\tag{10}$

4.5微分方程式展开

$\frac{\partial(ut)}{\partial x}+\frac{\partial(vt)}{\partial y}=u\frac{\partial t}{\partial x}+t\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}+t\frac{\partial v}{\partial y}\tag{11}$

质量流量方程式为 $\frac{\partial \rho}{\partial \tau}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}=0$

①假设稳态流动IG $（\frac{\partial \rho}{\partial \tau}=0）$

②连续性方程，并且密度不随空间坐标变化

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\tag{12}$

(12)带入(11)约去两项,将(10)变为如下

$\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(\frac{\partial t}{\partial \tau}+u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\tag{13}$

可以发现，温度场的偏微分与速度场耦合!

解动温度场需要解动量场，动量场为N-S方程、连续性方程，在加上对流换热的偏微分方程，组合如下,done!

5.对流换热微分方程组

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ F_x-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})=\rho(\frac{\partial u}{\partial \tau}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})\\ F_y-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})=\rho(\frac{\partial v}{\partial \tau}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})\\ \lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(\frac{\partial t}{\partial \tau}+u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}\text{(解流场，得到温度场，得到局部对流换热系数)} \end{cases}\tag{微分方程组完全体}$

对于体积力，一般为重力场 $F_x=\rho g_x,F_y=\rho g_y$ 一般情况下，没有电磁力

6.5个方程，5个未知数 $u,v,t,h,p$

方程组仅存在理论可解的可能性，需要18个定解条件(对于湍流来说，条件可能不封闭)

最后编辑于：2024.11.12 09:21:00

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