单位根反演推导

请大家注意：

因为作者写的文章中的梯等式公式总是莫名的显示错误，所以作者的许多文章中的梯等式都暴力拆成一步一个等式了。
造成的不适，请谅解。
同时，如果文章中还有其他错误，请联系作者，谢谢。

问题模型

给出两个整数N,S以及一个长度为4的数组A_{0 \sim 3}。
求：\sum_{i=0}^{n} C(n,i) S^i A_{(i \mod 4)}。

公式推导

因为只有4个值，所以我们考虑将答案拆开：
Ans = \sum_{r=0}^{3} \sum_{i=0}^{n} [i \equiv r\mod 4] C(n,i) S^i
我们考虑单位根反演：
[k|n] = \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} \omega_{k}^{in}
考虑证明：

  1. k|n成立，那么显然等于1。
  2. 如果k\not|n，那么可以写成等比数列求和：\sum_{i=0}^{k-1}\omega_{k}^{in} = \frac{\omega_{k}^{kn}-1}{\omega_{k}^{n}-1} = 0

那么我们就可以将答案写成：
Ans = \sum_{r=0}^{3} A_r \sum_{i=0}^{n} [4 | (i-r)] C(n,i) S^i
Ans = \sum_{r=0}^{3} A_r \sum_{i=0}^{n} C(n,i) S^i \frac{1}{4} \sum_{j=0}^{3}\omega_{4}^{(i-r)j}
Ans = \sum_{r=0}^{3} A_r \sum_{j=0}^{3} \omega_{4}^{-jr} \sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} S^i \omega_{4}^{ij}
Ans = \sum_{r=0}^{3} A_r \sum_{j=0}^{3} \omega_{4}^{-jr} (S\omega_{4}^{j}+1)^n
就做完了。

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