今天写的是归并排序和快速排序，时间复杂度均为 ，适合大规模数据的排序。
归并排序
归并排序使用的就是分治思想。分治，顾名思义，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了，大问题也就解决了。
分治算法一般都是用递归来实现的。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧。
先写出归并排序的递推公式：
递推公式： merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
终止条件： p >= r 不用再继续分解
归并排序的性能分析
- 第一，归并排序是稳定的排序算法吗？
归并排序是一个稳定的排序算法。
- 归并排序的时间复杂度是多少？
不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。
T(a) = T(b) + T(c) + K
T(a)、T(b)、T(c) 分别是求解问题 a、b、c 的时间
K 等于将两个子问题 b、c 的结果合并成问题 a 的结果所消耗的时间
我们假设对 n 个元素进行归并排序需要的时间是 T(n)，那分解成两个子数组排序的时间都是 T(n/2)。我们知道，merge() 函数合并两个有序子数组的时间复杂度是 O(n)。所以，套用前面的公式，归并排序的时间复杂度的计算公式就是：
T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1
一步一步分解推导，得到 k=log2n 。我们将 k 值代入上面的公式，得到 T(n)=Cn+nlog2n。
如果我们用大 O 标记法来表示的话，T(n) 就等于 O(nlogn)。所以归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)。
从我们的原理分析和伪代码可以看出，归并排序的执行效率与要排序的原始数组的有序程度无关，所以其时间复杂度是非常稳定的，不管是最好情况、最坏情况，还是平均情况，时间复杂度都是 O(nlogn)。
- 第三，归并排序的空间复杂度是多少？
归并排序的 merge 合并函数，在合并两个有序数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。但是递归代码的空间复杂度并不能像时间复杂度那样累加。在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O(n)。
快速排序的原理
快排利用的也是分治思想，乍看起来，它有点像归并排序，但是思路完全不一样。
快排的思想是这样的：如果要排序数组中下标从 p 到 r 之间的一组数据，我们选择 p 到 r 之间的任意一个数据作为 pivot（分区点）。我们遍历 p 到 r 之间的数据，将小于pivot 的放到左边，将大于 pivot 的放到右边，将pivot 放到中间。经过这一步骤之后，数组 p 到 r 之间的数据就被分成了三个部分，前面 p 到 q-1 之间都是小于 pivot 的，中间是 pivot，后面的 q+1 到 r 之间是大于 pivot 的。
根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从 p 到 q-1 之间的数据和下标从 q+1 到 r 之间的数据，直到区间缩小为 1，就说明所有的数据都有序了。
递推公式如下：
递推公式： quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1, r)
终止条件： p >= r
归并排序中有一个 merge() 合并函数，我们这里有一个 partition() 分区函数。怎么低空间、时间复杂度的实现这个分区函数呢？你可以想一下~
快速排序的性能分析
快排是一种原地、不稳定的排序算法。那时间复杂度呢？
快排也是用递归来实现的。对于递归代码的时间复杂度，前面总结的公式，这里也还是适用的。如果每次分区操作，都能正好把数组分成大小接近相等的两个小区间，那快排的时间复杂度递推求解公式跟归并是相同的。所以，快排的时间复杂度也是 O(nlogn)。
但是，公式成立的前提是每次分区操作，我们选择的 pivot 都很合适，正好能将大区间对等地一分为二。但实际上这种情况是很难实现的。
我举一个比较极端的例子。如果数组中的数据原来已经是有序的了，比如 1，3，5，6，8。如果我们每次选择最后一个元素作为 pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的。我们需要进行大约 n 次分区操作，才能完成快排的整个过程。每次分区我们平均要扫描大约 n/2 个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就从 O(nlogn) 退化成了 O(n^2)。
那快排的平均情况时间复杂度是多少呢？等到后面了解了递归树再来方便的计算。
先给出结论：T(n) 在大部分情况下的时间复杂度都可以做到 O(nlogn)，只有在极端情况下，才会退化到 O(n^2)。而且，我们也有很多方法将这个概率降到很低，后面会讲到。
归并和快排的区别
快排和归并用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢？
可以发现，归并排序的处理过程是由下到上的，先处理子问题，然后再合并。而快排正好相反，它的处理过程是由上到下的，先分区，然后再处理子问题。
归并排序虽然是稳定的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法。归并之所以是非原地排序算法，主要原因是合并函数无法在原地执行。快速排序通过设计巧妙的原地分区函数，可以实现原地排序，解决了归并排序占用太多内存的问题。
开篇解答
如何在 O(n) 时间复杂度内求无序数组中的第 K 大元素？
快排核心思想就是分治和分区，我们可以利用分区的思想，来解答。
我们选择数组区间 A[0…n-1] 的最后一个元素 A[n-1] 作为 pivot，对数组 A[0…n-1] 原地分区，这样数组就分成了三部分，A[0…p-1]、A[p]、A[p+1…n-1]。
如果 p+1=K，那 A[p] 就是要求解的元素；如果 K>p+1, 说明第 K 大元素出现在 A[p+1…n-1] 区间，我们再按照上面的思路递归地在 A[p+1…n-1] 这个区间内查找。同理，如果 K<p+1，那我们就在 A[0…p-1] 区间查找。直到区间缩小为 1。
为什么时间复杂度是 O(n)呢？
第一次分区查找，我们需要对大小为 n 的数组执行分区操作，需要遍历 n 个元素。第二次分区查找，我们只需要对大小为 n/2 的数组执行分区操作，需要遍历 n/2 个元素。依次类推，分区遍历元素的个数分别为、n/2、n/4、n/8、n/16....直到区间缩小为 1。
如果我们把每次分区遍历的元素个数加起来，就是：n+n/2+n/4+n/8+…+1。这是一个等比数列求和，最后的和等于 2n-1。所以，上述解决思路的时间复杂度就为 O(n)。
课后思考
现在你有 10 个接口访问日志文件，每个日志文件大小约 300MB，每个文件里的日志都是按照时间戳从小到大排序的。你希望将这 10 个较小的日志文件，合并为 1 个日志文件，合并之后的日志仍然按照时间戳从小到大排列。如果处理上述排序任务的机器内存只有 1GB，你有什么好的解决思路，能“快速”地将这 10 个日志文件合并吗？
每次从各个文件中取一条数据，在内存中根据数据时间戳构建一个最小堆，然后每次把最小值给写入新文件，同时将最小值来自的那个文件再出来一个数据，加入到最小堆中。
这个空间复杂度为常数，但没能很好利用 1g 内存，而且磁盘单个读取比较慢，所以考虑每次读取一批数据，没了再从磁盘中取，时间复杂度还是一样 O(n)。
