四面体与四棱锥：2014年文数全国卷B18

2014年文数全国卷B18

如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为矩形，PA\perp平面 ABCD，E为 PD 的中点.

（Ⅰ）证明：PB // 平面 AEC;

（Ⅱ）设 AP=1,\,AD=\sqrt{3}，三棱锥 P-ABD 的体积 V=\dfrac{\sqrt{3}}{4}，求 A 到平面 PBC 的距离.

2014年文数全国卷B18

【解答问题Ⅰ】

记 AC,BD 交点为 Q, 连接 QE.

∵ ABCD 是矩形，∴ Q 是 BD 中点，

又∵ E 是 PD 中点，

∴ EQ //PB （中位线性质）

∵ EQ //PB , EQ \subset 平面 AEC,

∴ PB // 平面 AEC. 证明完毕.

【解答问题Ⅱ】

∵ PA\perp平面 ABCD，

∴ PA \perp AD, PA \perp AB.

∵ ABCD 是矩形，∴ BC \perp AB

∴ BC \perp 平面 PAB.

∴ PB \perp BC

∵ PA \perp AB, PA \perp AD,

∴ V_{P-ABD} = \dfrac {1}{6} PA \times AB \times AD

∴ AB= \dfrac {6 \times V_{P-ABD}} {PA \times AD} =\dfrac {3}{2}

由勾股定理可得：PB= \dfrac {\sqrt{13}}{2}

∵ BC \perp PB,

∴ S_{\triangle PBC} = \dfrac {\sqrt{39}}{4}

∵ ABCD 是矩形，S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ABC}

∴ V_{P-ABD} = V_{P-ABD}

记 A 到平面 PBC 的距离为 h, 则

h = \dfrac {3V_{P-ABC}}{S_{\triangle PBC}} = \dfrac {3}{13}\sqrt{13}.

【提炼与提高】

问题Ⅰ中，利用中位线的性质推出线线平行；由线线平行推出线面平行。这是立体几何中的常规操作。

问题Ⅱ中，利用四面体的体积公式求出点与平面的距离，也是常规操作。

四面体是最基本的多面体，也是高中立体几何的核心。玩转四面体，立体几何就通了。

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