坐标变换(3)—同一坐标系下的变换

除了不同坐标系之间点的坐标变换，在同一坐标系内也存在对点的变换操作，例如平移，旋转等。

1. 平移

在同一坐标系下，平移操作将空间中一个点沿着一个已知的矢量方向移动一定的距离，如下图所示，将^{A}P_{1}沿着^{A}Q进行平移得到^{A}P_{2}

易得，

^{A}P_{2}=^{A}P_{1}+^{A}Q

用矩阵写出平移算子，可得，
^{A}P_{2}=D(Q)^{A} P_{1}

式中，

D(Q) = \left[\begin{array}{cccc} {1} & {0} & {0} & {q_{x}} \\ {0} & {1} & {0} & {q_{y}} \\ {0} & {0} & {1} & {q_{z}} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right]
其中,q_x,q_y,q_z为^{A}Q的分量。

2. 旋转

在同一坐标系下，旋转操作将一个向量^{A}P_{1}用旋转矩阵R旋转到另外一个向量^{A}P_{2}。

^{A} P_{2}=R^{A} P_{1}

向量经由某一旋转R得到的旋转矩阵与一个坐标系相对于参考坐标系经某一旋转R得到的旋转矩阵是相同的。

如上图将向量P旋转\varphi得到P_1，对应的旋转矩阵为，

\left(\begin{array}{cc} {\cos \varphi} & {-\sin \varphi} \\ {\sin \varphi} & {\cos \varphi} \end{array}\right)

3. 平移旋转

将一个向量P_1经过平移旋转得到P_2，可以用4\times4其次矩阵表示，

^{A} P_{2}=T^{A} P_{1}
其中，
T=\left[\begin{array}{ll} {R} & {Q} \\ {0} & {1} \end{array}\right]
经旋转R和平移Q的其次变换矩阵与一个坐标系相对于参考坐标系经旋转R和平移Q的其次变换矩阵是相同的。

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