题目描述
这是 LeetCode 上的 1175. 质数排列 ，难度为 简单。
Tag : 「数学」、「组合数」、「二分」、「打表」
请你帮忙给从 到
的数设计排列方案，使得所有的「质数」都应该被放在「质数索引」（索引从
开始）上；你需要返回可能的方案总数。
让我们一起来回顾一下「质数」：质数一定是大于 的，并且不能用两个小于它的正整数的乘积来表示。
由于答案可能会很大，所以请你返回答案 模 mod 之后的结果即可。
示例 1：
输入：n = 5
输出：12
解释：举个例子，[1,2,5,4,3] 是一个有效的排列，但 [5,2,3,4,1] 不是，因为在第二种情况里质数 5 被错误地放在索引为 1 的位置上。
示例 2：
输入：n = 100
输出：682289015
提示：
打表 + 二分 + 数学
根据题意，可将问题转换为求 以内的质数个数，记为
，同时可得非质数个数为
。
质数的放置方案数为 ，而非质数的放置方案数为
，根据「乘法原理」总的放置方案数为
。
我们可以通过「打表」的方式将 以内的质数预处理到数组
list 中，对于每个 而言，我们找到第一个满足「值小于等于
」的位置，从而得知
范围以内的质数个数。
代码：
class Solution {
static int MOD = (int)1e9+7;
static List<Integer> list = new ArrayList<>();
static {
for (int i = 2; i <= 100; i++) {
boolean ok = true;
for (int j = 2; j * j <= i; j++) {
if (i % j == 0) ok = false;
}
if (ok) list.add(i);
}
}
public int numPrimeArrangements(int n) {
int l = 0, r = list.size() - 1;
while (l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (list.get(mid) <= n) l = mid;
else r = mid - 1;
}
int a = r + 1, b = n - a;
long ans = 1;
for (int i = b; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
for (int i = a; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
return (int)ans;
}
}
- 时间复杂度：二分的复杂度为
，计算方案数的复杂度为
。整体复杂度为
- 空间复杂度：
，其中
为
以内的质数个数
打表 + 数学
更进一步，对于特定的 而言，我们在预处理
以内的质数时，已经可以确定在
内有多少个质数，从而省掉二分操作。
使用数组 cnts 记录下不超过当前值范围内质数的个数， 含义为在
范围内质数数量为
。
代码：
class Solution {
static int MOD = (int)1e9+7;
static int[] cnts = new int[110];
static {
List<Integer> list = new ArrayList<>();
for (int i = 2; i <= 100; i++) {
boolean ok = true;
for (int j = 2; j * j <= i; j++) {
if (i % j == 0) ok = false;
}
if (ok) list.add(i);
cnts[i] = list.size();
}
}
public int numPrimeArrangements(int n) {
int a = cnts[n], b = n - a;
long ans = 1;
for (int i = b; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
for (int i = a; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
return (int)ans;
}
}
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1175 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
更多更全更热门的「笔试/面试」相关资料可访问排版精美的 合集新基地 🎉🎉
本文由mdnice多平台发布
