【前言】
一个巧合的机会，让我与一位名师有了一段简短的对话，这段对话使我深刻的认识到自己在教学和学科知识的不足，也很让我振奋，因为我和她之间有了对话，对话就是思维的交流，有思维的交流就能激发灵感的产生，不管对话的方式如何，结果怎样，总之会引发我的思考，我觉得这就有价值。
而其中一个问题这几天不断的在我的脑海中出现，由于当时对话时间太过于仓促，我有很多的表述并不是很清晰，而对话者的依据也未给我陈述，因此让我不断地陷入了思考、论证、黑白小人不断相互搏击的漩涡里，最后我还是没有拿出说服我的证据，我觉得我的想法好像更具有可依据性和知识的一致性，因此现作以梳理，想有一个更深层次的对话。
问题：“在小升初总复习的时候，要将学过的知识点串联起来，在求几何图形的面积时，如果让你选择一个图形可以把所有图形面积的公式的推导进行一个串联，你会选择那一个图形？”
我未经过多久的思考，脑海中第一个就冒出了“长方形”，因为再我教学过的过程中，曾尝试过将所有图形的计算公式的推导用长方形来推导，学生对的理解也很充分，知识点逻辑进行也一以贯之，所以我很肯定的说：“长方形。”
对话者说：“有学者研究过是：“梯形”，后面你可以了解下。”
为什么是梯形？脑海中冒出了一串为什么……
我反驳道：“面积的推导应该要回到面积的本质来展开，而且要保证知识的一致性，梯形作为一个中间图形怎么可以推导其他图形呢？，如何保证知识的一以贯之呢？【其实可以推导，梯形的面积计算公式可以由平行四边形、长方形及三角形推导而来，那当然也可以逆向推导回去的，只是我觉得以梯形展开会将知识链分割开】
对话者说：“如果回到面积的本质上说的话那也是正方形而不是长方形。”
说真的我当时有点懵，没有反应过来，心想：“面积的本质是正方形和面积公式的推导有多大关系呢？从面积公式上来说正方形是特殊的长方形，只要知道长方形的面积公式，正方形不就也知道了嘛？而且用正方形推导起来多麻烦【要转化为正方形其他图形必须在特殊情况下】。
由于时间和场合的原因，对话也就此次结束了，小朋友还有好多问号，可惜没有来得及请教和得到解答。
结束后，我就陷入了深思，这几天一直被这个问题萦绕，总感觉用梯形来展开推导，逻辑层次有点说不通。现在将我的理解写出来，希望能得到更多思想碰撞，来帮我答疑解惑。
我思考的点是：
1：面积的本质是什么？
2：所有的长方形、正方形、平行四边形、三角形、圆都可以转化为梯形嘛【我这里指的是要保证数学的直观性、和简捷性，通过复杂的变化当然是可以的】？
3：如果转化成长方体和梯形，那种更能清晰明了的表示出两个图形各部分之间的关系呢？
4：转化成梯形和长方形对于学生来说那个更能让学生理解呢？
我的观点当然是：用长方形来进行推导，下列我就将我的论证作以陈述；
一、面积的本质是什么？
在我的观念里，面积是度量的结果，而不是计算的结果。之所以这样说，就是因为面积的起源就源于丈量土地和计算，用单位面积去度量后计算包含单位面积的个数。而“面积公式“只是后期数学符号化发展的产物。所以我认为“面积，就是单位面积的累积的结果，而求面积的本质就是求一个平面图形里包含了多少个这样的单位面积。”
那么单位面积是什么呢？其实就是我们所说的“平方”。在数学上研究面积问题首先是规定边长为1的正方形的面积为1【可以是cm,dm,m等】，并将其作为不证自明的公理。所以面积单位才叫“平方【平且方的】”然后用这样的所谓的单位正方形来度量其他平面几何图形。为什么不是三角形、圆心、梯形，甚至是长方形作为单位面积呢【教学中的重点】？普遍的解释是“恰（正）好可以铺满所测图形“，但也有争议，教材的安排意向好像也具有这一特点。但个人觉得除了这一特点，更多的还是经过一个漫长的发展和提炼过程的，而最终得到的是正方形作为单位面积是最合适的。
二、长方形面积公式的理解：
前文已说，面积是度量的结果，且个人理解就是平面图形包含“单位面积”的个数累积，存在一个乘积的过程，对于长方形而言，在用“单位面积”度量后，求“单位面积”个数的多少时，用的就是乘法的基本模型“份数×每份数=积”如下图所示。
长的数是每一行包含了多少个单位面积，宽的数是一共有几行【反之亦然】，求单位面积的总数则用乘法模型：“份数×每份数=总数量”，即“长×宽=面积”。而求面积则是给长和宽赋予了具体的数值和具体的单位,若上图长为8cm，宽为6cm，则面积为8×6=48cm²。
三、平行四边形、三角形、梯形面积公式用长方形公式进行推导
首先需要考虑的是这些图形的面积公式为什么要进行推导，而不像长方形一样直接进行理解呢？
理由可能有三点：
1.从面积的本质来讲，面积是度量的结果，求一个图形的面积是用“单位面积”完全平铺后再求“单位面积”的个数，以上图形则无法用“平方”直接去度量，需要进行转化；
2、孩子的认知发展是建立在原认知结构上的，也需要借助前景知识的辅助，使知识具有关联性；
3、推导的过程其实就是孩子对新概念的架构过程，对孩子的思维发展、公式理解都具有促进作用。而直接将公式灌输给孩子后用于计算和刷题，那么就丧失了数学教学的真正目的了，不能使学生知其然而不知其所以然的教学肯定是失败的教学。
介于以上三点理由，因此将平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式、圆的面积公式的推导统一用长方形面积转化，使知识具有连贯性、理解具有一致性，便于学生理解应用。推导过程下列将用图示直观展示，具体教学则需要详细的课程设计。
1.平行四边形面积公式推导：
2.三角形面积公式推导：
3.梯形面积公式推导：
【备注：梯形的面积推导至少有四种方法，单独教学时需给孩子足够大空间进行自我推导】
四、圆的面积公式推导：
圆相对于其他几个图形来说并不是一个类别的，圆是由曲线围成的平面图形，而其他几个图形都是由直线围成的平面图形。圆的面积公式推导方法也有很多种，可以转化为三角形、梯形、平行四边形和长方形，但不管如何转化，曲线永远无法实现真正的转化为直线，这里就涉及到了数学中一个很重要的思想——极限思想，个人认为，小学阶段无法充分的论证其合理性，只能使这一思想逐步的渗透。而各种教材的推导中最终依然是借助长方形进行的，我想出发点可能也是为了使知识体系具有统一性，使面积的推导可以一以贯之吧。
【推导过程】
【备注：在圆的推导过程中各部分的对应关系只能说是近似于】
以上则是通过长方形来推导其他几个图形的面积公式，我觉得这样的线路是清晰的，在公式的应用中，如果孩子没有记住公式，但只要知道这个推导过程，知道长方形的面积公式，他在考试的过程或者做题的过程中也可以推导出来，这比公式死记，死记公式对学生的思维培养作用要大。
