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关于作者

戴维·A.苏泽（David A.Sousa），教育学博士，国际教育顺问。他曾在全国性的教育大会上进行演讲，并在数以百计的学区和美国、加拿大、欧洲、亚洲和澳大利亚等地的大学和学院中设立脑科学研究和科学教育的工作坊。
苏泽博士在布里奇沃特的马萨诸塞州立学院获得化学学士学位，在哈佛大学获得教育艺术的文科硕士学位，并在罗格斯大学获得博士学位。他具有在各年级执教的经验，教授过高中科学，担任过K-12的科学主任，并在新泽西州西奥兰治的学校担任过教育督导一职。后来，他成为新泽西州新普罗维登斯公立学校的负责人。他还是西顿霍尔大学的兼职教授、罗格斯大学的客座讲师，1992年担任美国国家员工发展委员会（National Staff Devclopment Council）主席。

前言

数字统治万物。
——毕达哥拉斯（Pythagoras）

一、人人都能学数学

我们经常听到有孩子们叫嚷：“我不会数学”，却从没听到有孩子说：“我不会说话！“为什么会有这样的不同？

1.为什么学习数学这么难

学者们纷纷对这一乏善可陈的成绩进行解释。有人说，学数学难是因为数学太抽象，需要更多逻辑性和条理性的思维；有人说在数学中使用各种各样的符号更像是在学外语。但教育评论家坚持认为，只有少数学生真正缺乏解决数学问题的能力，而那些糟糕的表现主要是因为缺乏适当的教育。他们认为，所谓“数学战争”阻碍了数学课程开发的重大进展，正如20世纪90年代的“阅读战争”对阅读教育的影响一样。

2.数学教育者的回应

2006年，NCTM发布了《课程焦点》（Curriculum Focal Points），这本书为从幼儿园到八年级的每个年级都设定了三个重要的数学主题，称为“相关知识、技能和概念的衔接组块”，这三个组块为理解高级数学概念奠定了必要基础。该书致力于将目前使用的各种不同版本的数学教材统一化，并为各州和地区从幼儿园到八年级的数学课程开发而设计更有针对性的课程规划和教学评估提供了框架。这次新的尝试能否促进学生的数学学习，我们将拭目以待。与此同时，教师每天走进教室时都要准备好帮助他们的学生建立充分的信心，从而掌握数学原理和运算。有件事似乎是可以肯定的：那些小时候数学学得不好的学生，他们在以后的数学学习中仍然会表现不好。

二、关于本书

1.本书要回答的问题

• 什么数学能力是我们与生俱来的？
• 在没有专门指导的情形下，孩子们能学到多少数数和基本计算的本领？
• 为什么亚洲的语言能使他们的孩子比说英语的孩子更早更快地学会数数？
• 什么样的数词体系能够帮助说英语的孩子更快更容易地学会数数？
• 为什么学习数学对这么多学生来说如此困难？
• 当前的研究对算术学习的日常课堂教学有什么启示？
• 人脑是如何应对抽象数学概念的？
• 哪些有效的策略能够帮助有阅读困难的学生学习数学？
• 对于表现出数学学习困难的学生，我们如何判断这种困难是环境因素所致还是发展性缺陷所致？
• 数学教师设计课程时应该考虑哪些策略？
• 脑成像研究揭示的计算障碍的本质是什么？
• 中小学教师如何准确地鉴别数学学习困难的学生？
• 哪些教学策略对于帮助数学学习困难的学生最为有效？
• 教师如何将脑与数学的研究成果应用于从学前到高中的数学教学方案的设计？

2.内容提要

第一章——发展数感。儿童确定数量的能力在出生后不久开始形成。本章将剖析这种天生数感的成分，探讨天生数感如何引导儿童数数和进行基本的计算操作。本章将介绍协同工作并处理计算的脑区，以及语言是如何让孩子更快地学会数数的。
第二章—学习计算。由于计算大数目并非生存的必备技能，因此人脑必须学习数学概念和流程。本章深入探讨了人脑理解数字关系和操作所必须历经的各个阶段（比如，在学习乘法的过程中，人脑为什么会把学习乘法看成一种非自然的行为），并且提出了一些可能让乘法教学变得更容易的方法。
第三章———回顾学习的基本要素。本章呈现了近年来认知神经科学的一些发现，包括有关记忆系统、练习和复述的性质与价值、课程时间安排和写作在数学课堂上的益处等方面的研究。
第四章——教学龄前儿童学数学。虽然幼儿具有天生的数感，但一定的教学策略能够增强这种能力，并能让幼儿为以后更好地学习运算做好准备。本章提供了一些相关策略的建议。
第五章——教前青春期的学生学数学。我们在此观察了前青春期少年的脑的发展和特点及其对个体情绪和理性行为的影响。本章为从小学到中学阶段的教师如何根据在这个阶段处于发展中的脑的特性修改课程计划提供了建议，从而使更多的学生能够成功地学习数学。
第六章——教青春期学生学数学。与前一章类似，我们回顾了处于青春期的青少年的脑的特性，提出了应该如何根据脑的需要修订课程。其中包括对数学推理以及教学选择的讨论，比如对课程和组织图进行分层，这可能是一种能让数学与今天的学生更相关的有效策略。
第七章——认识和解决数学学习困难。本章提出了大量建议，让教师能够识别并帮助学生克服数学学习中遇到的困难，包括数学焦虑。本章讨论了可能造成数学学习困难的环境因素和发展因素之间的主要区别。本章还提出了一些测试策略，可供各年级教师帮助那些数学成绩差的学生理解数字运算，并对数学概念形成更为准确和深刻的理解。
第八章——综述：从学前到高中的数学课程规划。什么是数学？我们如何将前面章节所讨论的重要发现应用于日常实践？本章提出了将此类研究整合进数学课程规划的建议，并呈现了适用于从学前到高中的数学教学的四步教学模式。

不要为你在数学上遇到的困难烦恼，我向你保证我在数学上遇到的困难要大得多。
——爱因斯埋（Albert Einstein）

认识和解决数学学习困难

是什么使得小孩学不好数学？答案很复杂，但是至少应注意以下两个方面:
（1）我们需要分清不理想的成绩是由于指导不当或其他环境因素，还是由于自身认知能力不足引起的。
（2）数学到底是以什么方式被教授的？教学方法完全可以决定某种认知缺陷是否真的是能力缺失。例如，一种教学方法强调概念的理解而不强调学习过程和数学算式（NCTM，2000）。另一种教学方法，正如加利福尼亚州教育部的标准（Califomia Dxpartment of Elucation，1999）提到的，强调过程和算式。在第一种教学方法下，一个对提取数学算式有困难的学生不会被认为是学习能力缺失，因为这种方法不强调记忆信息。然而在第二种教学方法下，这种困难将被认为是严重的能力不足。

• 系统而明确的教学对两组学生都有持续而重要的影响。
• 学生的有声思维显示出对接受特殊教育学生的有效性。
• 用形象化和图表形式描述问题的策略对特殊教育学生存在普遍影响（0.50）。特别有趣的是，研究显示形象化表述的明确性决定了该策略干预的有效性。在以下情形中，效应量会更大：（1）教师呈现的图表描述具有多种实例；（2）教师帮助学生选择使用什么图并解释为什么；（3）教师让学生用自己的图表组织进行实践。

具体-描述-抽象（CRA）方法

在包含以不同认知水平学习一个概念的多种案例的课堂上，数学学习困难的学生能明显受益。数学教育者已经认识到了研究所揭示的实质，对数学概念最佳的表述顺序是具体-绘图-抽象（CPA）方法。该方法也被称为具体-描述-抽象（CRA）或者具体-半具体-抽象（CSA）方法。无论是哪一种称谓，其教学方法的本质都类似，并都建立在布鲁纳（J.Bruner）20世纪60年代的工作基础之上。
这里的具体主要包括演示物（例如，条形棒、泡沫海绵饼以及记号笔）、测量工具以及其他能让学生在课堂上操作的物体。绘图包括由学生绘制或者提供给学生阅读和解释的图画、流程、表格或曲线图。抽象表示符号性的呈现，如学生为了展示对任务的理解写出的数字或字母。
在使用CPA方法时，活动的顺序是关键。首先进行的是使用具体材料的活动，从而让学生了解到数学运算可以用于解决现实问题。图形关系显示了具体操作物的视觉呈现，并且帮助学生在问题解决的过程中将数学运算形象化。在这里，重要的是教师要解释图形实例与具体实例是如何关联的。最后是符号的规范表示，即用来展示符号是怎样更简洁和有效地表达数学运算的。学生需要在他们已有的数学技能的基础上熟练使用符号来达到最终的抽象水平。然面，这些符号的意义必须来源于具体物体的操作经验。否则，他们进行的符号运算将会是对记忆程序毫无意义的机械重复。
CPA方法能让所有学生获益，但对数学学习困难的学生特别有效，主要是因为它是逐渐从具体的操作物到图片再到符号（Jordan，Miller&Merccr，
1998）。这些学生常常在教师抽象性地陈述数学问题时感到挫败。数学教师需要根据概念组织内容并且进行教学，以便学生能以有意义并且有效的方式进行新内容的学习。
实验研究证实了该方法的有效性。威策尔和他的同事对被鉴定为有代数学习困难的六、七年级学生进行了研究。在解决代数转化方程时，采用CPA方法的学生在之后的教学和测试中比接受常规教学的控制组同伴得分高。而且，使用CPA顺序教学的学生在解决代数变量时所犯的程序性错误减少（Witzcl，Mcrcer&&Miller，2003）。
小学教师已经认识到在引人新概念时使用具体的和绘图活动的重要性。然而，尽管认知神经科学通过最新研究证明了CPA方法的有效性，但是该方法在中学以及高中课堂中并没有得到广泛运用。也许是初高中教师认为使用具体的操作物会让学生觉得过于基础，也许是课程的要求迫使教师为了节省时间而直接进入抽象水平。
具体操作物和绘画的呈现方式应该在所有年级都使用。通过使用类似于CPA的认知策略，教师给学生提供了一种处理数学问题的技巧而不只是寻求答案。这里给出一个从三种认知水平呈现代数应用题的例子。

过程助记法

过程助记法对数学学习困难的学生之所以这么有效，是因为它是一种有效的记忆手段，能够让大脑积极地参与到学习和记忆的基础加工过程中。这种方法通过与学生相关的比喻将意义整合进来，更能吸引学生的注意力，激发学生的兴趣，并且使用形象化技巧帮助学生建立起了抽象符号与具体事物之间的联系。

对于数学教学的建议：

• 每个人都有数学运算的能力，这是我们与生俱来的。
  ·没有意义的机械学习阻碍数学知识的实际应用。
• 当数学知识对学习者来说能够理解并且有意义时，学习数学会变得容易。
• 当学习者能够将数学操作与概念相联系去解决现实世界中的问题时，学习数学将会变得容易。
• 谈论数学知识和写作会加深学习并有助于回忆。
• 数学学习涉及从具体到表征到抽象的过程。
• 人们用不同的方法学习数学。