姓名：王杰
学号：21181214057
学院：广州研究院
【嵌牛导读】本文是图像处理系列 图像矢量场的介绍
【嵌牛鼻子】图像矢量场的介绍
【嵌牛提问】图像矢量场是什么？
【嵌牛正文】
1.1矢量场的介绍
矢量（向量）是指一个同时具有方向和大小的量，在平面直角坐标系下，对于一个二维矢量，它有两个分量，即
和
是
和
方向上的单位矢量。对于矢量场的一般定义为
对于一个二维矢量场,它有两个标量场
和
，即
当矢量场与时间没有关系时，它就成为了一个静止场。
1.2图像矢量场
对于一幅图像来说，它也是具有矢量场的，它的矢量场更多的包含了图像的方向、纹理和边缘等特征的信息，所以图像的矢量场也被称作方向场或者特征流场。要想求解图像的矢量场，得先了解一下图像的结构张量。
1.2.1图像的结构张量
在数学中，结构张量（也被称为第二矩矩阵）是从函数的梯度导出的矩阵。它总结了一个点的指定邻域中梯度的主要方向，以及这些方向连贯的程度。在图像处理中，结构张量的特征值和特征向量可以用来区分图像的平坦区域、边缘区域与角点区域，本文对此不作详细研究。对于图像的结构张量定义如下：
令表示一幅图像在
处的灰度值或RGB值，
和
是高斯函数
分别在
和
方向上的偏导，
为高斯函数的标准差：
的偏导数可以近似表示为下式
“”表示卷积运算，然后
的结构张量被定义为下式
“”表示数量积运算。图像结构张量的本质就是将原来图像的梯度关系转变为一个新的结构关系，可以近似地看作为一个映射。其必须保证映射的关系，以及保证两点间的关系不变。每个点对应一个结构张量，为一个矩阵。这是一个半正定对称矩阵，它拥有主特征值（较大的，总是被命名为
）和次特征值，见下式
对应的特征向量为：
指向图像颜色的最大对比度方向，即平滑后的梯度向量；相应地，
指向图像颜色的最小对比度方向，即所求边缘切向流场的构成向量。一般情况下，用
来定义一幅图像的矢量场，在某点
处的矢量方向为
在上面求解结构张量的过程中，本文使用了高斯滤波器进行平滑，所以上面的结构张量也叫作平滑的结构张量。使用高斯滤波器进行平滑的目的是为了消除矢量场的不连续性和突出图像的纹理特征。在图像的低对比度区域，信噪比高，梯度信息不可靠。因此，估计的方向几乎是随机的。因此，本文使用结构张量松弛来弥补这个缺陷。
由上图1-2可知，图像结构张量的映射图像越清晰，对应的图像矢量场图越模糊。同时，使用结构张量松弛和高斯平滑方法能够增强图像的特征流场，使图像的纹理特征和流线风格更加突出。
