初中学了简单了胡克定律，高中的时候力变成了向量，而大学里应力应变都变成了2阶张量，同样是胡克定律，在不同的尺度下，却有不同的含义。
标量尺度
我们初中学过胡克定律，即在弹性范围内，弹簧的伸长和所施加的力成正比：
用公式表达就是：
这里k是一个实数，表明了弹簧的性质，当弹簧压缩时，该式任然成立，只是F和X前面变成了负号。
向量尺度
高中时，力F变成了向量，位移X也变成了向量，什么是向量？既有大小又有方向的量就是向量，和标量尺度的胡克定律比较，引进向量其实就是引进了方向，但是各个方向上任然满足标量形式的胡克定律，胡克定律的公式没变，只是其中的F和X是向量了，这时如果将胡克定律在直角坐标系下展开：
即：
其中i从1到3.
所以，胡克定律：
任然成立，只是这里的F和X是向量，而kappa不再是一个实数（标量），而是一个2阶张量。
张量尺度
在大学里学了连续介质力学，这时的胡克定律变成了：
其中sigma是应力张量（2阶），epsilon是应变张量（2阶），而c是一个刚度张量（4阶）
在直角坐标系下，应力张量和应变张量可以表示为矩阵的形式：
而4阶的刚度张量在直角坐标系下：
一共有3*3*3*3=81个元素。
所以直角坐标系下的胡克定律可以写为：
刚度张量的简化
有以上可知，刚度张量有3*3*3*3=81个元素，那能不能将他简化呢？
小的对称minor symmetries
由于柯西应力张量的对称性：
我们可以得到：
同样的，由于应变张量的对称性，我们可以得到：
这样刚度张量的元素个数就从81个减小到了36个。
在直角坐标系下，这时的应力应变张量可以表示为：
而刚度张量的36个元素可以表示为：
注意：由于对称性，这时的刚度张量已从4阶变成了2阶。
大的对称major symmetries
由于应力应变张量同时变化，应力应变关系可以从应变能量密度（U）的微分得到：
由于积分顺序的任意性，我们可以得到：
这样刚度张量的元素个数就从36个减小到了21个。
在直角坐标系下，这时的刚度张量的矩阵表示：
是一个对称矩阵，所以只有6+5+4+3+2+1=21个元素。
其他对称性
以上的两种对称一般的材料都会有，而接下来的这些对称性确是只有在特定条件下才能满足：
正交对称Orthotropic
正交对称有两个对称面（可以证明：有两个对称面一定会有第三个），典型的正交对称材料是木头
木头的性质沿着半径方向，圆周方向以及轴向是不同的。
在直角坐标系下，如果坐标基矢量e1，e2，e3垂直于3个对称面，那么刚度张量元素个数可以从21个减小到9个：
横断对称Transversely isotropic
横断对称有一个对称轴，很多复合材料和生物薄膜材料都是横断对称的。
在直角坐标系下，如果坐标基矢量e3和对称轴重合，那么刚度张量元素个数可以进一步从9个减小到5个：
立方对称cubic symmetry
立方对称是最简单的各向异性情况,这时刚度矩阵元素个数为3个：
各向同性isotropic
终于到了各向同性，这一我们最常应用的情况，各向同性的材料，顾名思义，材料在各个方向上的性质是一样的，也可以说它有无穷多个对称面。各向同性的材料，刚度矩阵元素个数为2。
在直角坐标系下，公式表示为：
矩阵表示为：
其中，lamda等于：
u等于：
所以上式变为：
总结
仿佛坐了一次过山车，从初中学过的最简单形式的胡克定律开始（此时弹性系数k为一实数），到向量形式的胡克定律（此时k为一2阶张量，含9个元素），最后到连续介质力学中张量形式的胡克定律（此时k为一4阶张量，含81个元素），然后由于对称性，元素个数不断减少，在各向同性材料里，k只有两个元素。从中可以看出，升阶其实就是将更多方向性考虑进去，这样就需要更多的元素表示不同的方向，而对称性又决定了我们可以用同一元素代表不同方向的性质。我们从“1”出发，最后回到了“2”。
参考文献
wikipedia_Hooke's law
Linear elasticity
Orthotropic material
