其实作为一个大学高数差点挂科的人来说，谈论这个话题本身是奇怪的，不过我相信我的文字是具有力量的，真理的伟大就在于它闪耀着理性的光辉，这种光辉不会因为任何权威或者偏见被压倒。
大学高数学过的极限的定义，我已经忘记得差不多了，又或者说，我从来没有真正记得过，但是当我的记忆又一次回到高一的第一节数学课，我的一个同学向我解释了一个很好玩的例子，他也是我高中时期为数不多钦佩的人之一，他拿出笔写下了四个等式：
1/3 = 0.333...
1/3 * 3 = 1
0.333... * 3 = 0.999...
0.999... = 1
我当时没有接触过这样的思想，但是对于一个刚接触高中数学的人来说，这个思想无疑是比较具有开拓性的，我开始思考为何无限接近就相等，这个和极限的定义也是相悖的，极限就是极限，并没有说函数的值就等于极限。
不过在我大学毕业半年的春节这段时间，我可算明白为什么了，我重新翻开了《几何原本》，第一章第一句话，上面赫然写着几个大字。
点是没有部分的
我无意于探索这句话背后的哲学思想，但是我们可以看到，点虽然没有大小，但是它的确属于不可分割的最小部分，它是存在的！关键不是在于它多大，而是它的存在性，点不只是作为分割的最小单位，它也承载了分割和关连线段的功能，也就是说，正是因为点的存在，我们的公理系统才足以建立，因为点的存在，我们可以得到关于部分和整体的比较，它们理论上虽然都具有“无数”个点，但是部分和整体是不相等的！部分一定要小于整体，也就是说无穷大是可以比较大小的，正是因为点作为单位的存在。
从点的定义，我们可以看到，极限的出现，正是因为我们的函数到达了那个最小的单位，以至于可以跨越那个最小的单位，又或者，极限和函数值本身只差那一个最小的单位点了，这个单位点恰好可以被跨越，而不是一直被分下去，因为点是没有部分的，它不可以再分了。
我们为了让这个论点更加可靠，举一个例子，也就是古希腊哲学家芝诺的例子，芝诺曾经举过一个关于阿基里斯与龟的故事，这个故事是说，阿基里斯是古希腊跑步最快的人，但是呢，芝诺宣称，要是让乌龟和阿基里斯赛跑，乌龟要是超前阿基里斯一百米，阿基里斯的速度虽然是乌龟的十倍，他却永远追不上乌龟。这个论点从事实看来，是及其荒谬的，我们暂且看看芝诺的论证。
芝诺说，当阿基里斯跑了100米的时候，乌龟恰好跑了10米。
当阿基里斯跑了10米的时候，乌龟恰好跑了1米。
当阿基里斯跑了1米的时候，乌龟恰好跑了0.1米。
当阿基里斯跑了0.1米的时候，乌龟恰好跑了0.01米。
。。。
就这样下去，阿基里斯永远也追不到乌龟了，这个悖论的解决有了《原本》里的定义，就很容易解决，因为分割的最小单位是点，无论这个点多么小，反正它不能再分了，如果说承认了可以分割，就是承认了分割点的存在，这个点必须是不可分割的，才可以继续分割，于是最小的不可分割的那个点一定存在。但是如果我们说承认不可以继续分割，那么当前这个位置就到达了那个可以跨越的点了，它一定可以到达，因为我们分割的依据就是存在那个不可分割的点，如果我们说这个点还可以继续分，那么它就不存在，也就推翻了我们最初的设定，这是违背逻辑的一致性的，我们不可以在推理得过程中同时说一个东西既存在又不存在，说了等于没说，当然这个点我们可以取得很大，只要保证存在且唯一，我们的推理就是完备的，比如说一米的时候，我们的一米就无法再分了，你要么跳过去，要么停在原地，因为我们必须存在一个最小的分割体，也就是点，我们才可以进行分割，这是分割的依据，这个最小的值是多小，我们不知道，但是它是存在且唯一的！因为我们的定义就是把它看作是存在的。这个论点也可以这样来描述，111.111...这个无限循环小数虽然无限循环下去，我们不知道它到底有多少位，但是它肯定是存在且唯一的，并且它肯定小于111.1...2，因为111.1...1+0.0...1=111.1...2，这里0.0...1省略号表示的0的数目就是对应111.1...1和111.1...2的省略号表示1的数目，我们不知道它到底多少个，反正它是一个确定的数字，并且是唯一的，或者说111.1...1 < 111.1...2不等式里，这个中间的1无论多少个，它俩的数目是一样的，所以这个不等式成立，阿基里斯最终会到达111.1...2，超过乌龟。
这个悖论被成功解决，当然，庄子的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”也就成了一种空谈，几乎难以想象，整个现代数学大厦的基础，悖论的源头竟然是因为《原本》里的第一个隐含定义。可想而知微积分发明人莱布尼茨为何把他的哲学专著取名《单子论》了，因为从始至终，他的脑子里，从原本的知识而来的公理里面，极限就没有出现过，也没有必要出现，无限逼近就是相等，因为最小的单子终将被跨越，乌龟是会被追上的。
多说一句，物理学和分析数学的差异其实就是在于极限的这个地方，物理学是有单位的，数学里面的微积分却不引入单位，数学家们整日在悖论的深渊里面打转，却忘记了最初的隐含前提。事实是比推理可靠的，因为最初的公理源于事实。
