以预测变量（自变量x）来预测响应变量（因变量y），通过生成一个等式，建立模型方程进行回归分析。主要内容是运用普通最小二乘（OLS）回归，进行简单线性回归、多项回归，以及发现并解决存在的偏差。

一、怎么做？ lm() 拟合回归

1、简单线性回归（形如y=ax+b）

 women   #为身高与体重的数据表
fit <- lm(weight ~ height, data=women)  
#拟合简单线性回归，通过身高（x）去预测体重（y）
summary(fit)   #可以得到很多信息

summary(fit)

• 如图Coefficients的Estimate列分别为截距b与回归系数a，即y=-87.52+3.45x
• Pr(>|t|)即p值
• Residual standard error 表示身高预测体重的平均误差为1.525；
• Multiple R-squared即R²表示模型可以解释99.1%的方差；
• ......

#观察下回归模型误差及绘图
women$weight   #实际值
fitted(fit)     #模型对应的预测值
residuals(fit)   #模型误差
confint(fit)   #提供模型参数的置信区间
plot(women$height,women$weight,  #实际数据的点图
     main="Women Age 30-39", 
     xlab="Height (in inches)", 
     ylab="Weight (in pounds)")
abline(fit)         #模型拟合曲线

注意：绘制模型拟合曲线，目前学习来看是在原有plot点图基础上，abline(fit)而成；而且由于abline只绘制直线，所以只适合用于简单回归。
如果直接plot(fit)绘制的模型诊断图，在后面会介绍到。

简单线性回归.png

补充：predict函数是用拟合模型对新的数据集预测响应变量值，样例为predict(fit, newdata) 。这里要注意的是newdata数据要是dataframe数据框格式，并且列名与建立fit时的预测变量名相同

height <- c(55, 65.5, 73)  #注意变量名
newdata <- data.frame(height)
newdata$weight <- predict(fit, newdata)

2、多项式回归（形如y=ax2+bx+c）

• 当然也可以是更高次幂；目的是在某些情况下，提高拟合精度（曲线）。
• 还以上个例子进行拟合回归，看看是否提高了精确度（R2）

fit2 <- lm(weight ~ height + I(height^2), data=women)  #拟合二次项等式
summary(fit2) 
plot(women$height,women$weight,
     main="Women Age 30-39",
     xlab="Height (in inches)",
     ylab="Weight (in lbs)")
lines(women$height,fitted(fit2))   #不能使用abline了
#从summary，以及绘图来看对于本数据，二次项确实能提高精度。

fit2

3、多元线性回归（形如y=ax+bz+c）

• 不止一个预测变量，如上例有x，z两个
• 某种角度来看，多项式回归是特殊的多元回归
• state.x77 是美国各个州的一些数据的矩阵，我们利用它来进行犯罪率（Murder）与其它因素（Population人口，Illiteracy文盲率，Income收入，Frost结霜天数）的回归分析

3.1、变量间关系初步探索

states <- as.data.frame(state.x77[,c("Murder", "Population", 
                                     "Illiteracy", "Income", "Frost")])
cor(states)  #看看变量间的相关系数
library(car)
scatterplotMatrix(states, spread=FALSE, smoother.args=list(lty=2),
                  main="Scatter Plot Matrix")

• 如下图，重点关注Murder行（第一行）可以看出谋杀率为一个双峰的曲线；随着人口、文盲率的增加而增加；随着收入水平和结霜天数的增加而下降。

  
  
  scatterplotMatrix.png

3.2 然后进行多元线性回归

fit3 <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost, data=states)
summary(fit3)

fit3.png

• 此时的回归系数表示其他预测变量不变时，一个预测变量增加一个单位，因变量（谋杀率）增加的值。
• 观察上图Pr|t|列中，Income与Frost回归系数不显著，关于变量的取舍在之后会专门叙述。

4、有交互项的多元线性回归

• 形如y=ax+bz+cx:z 中，y与x的关系（相关系数）不是固定的，会随z变量水平变而变；同理y与z的关系也受x的影响.
• 这时以mtcars数据，研究车mpg（y）与hp（x），wt（z）的关系，以及hp与wt间是否互相影响。

fit4 <- lm(mpg ~ hp + wt + hp:wt, data=mtcars) 
summary(fit)

fit4.png

• 如上图Pr(>|t|)列中，显示hp与wt的交互是显著的，通过下面一个图可以清楚得表达

library(effects)
plot(effect("hp:wt", fit4,, list(wt=c(2.2, 3.2, 4.2))), multiline=TRUE)
#可以清晰看出在wt的三个水平下，mpg与hp的关系发生变化
#multiline选项默认为false，针对此例就会绘制3张图

effect plot.png

二、回归建得好不好？--回归诊断

• 一般来说为满足最小二乘计算原理，数据要满足以下条件，回归模型才有意义

1、正态性：对于固定的自变量值（x），因变量值（y）要呈正态分布；
主要通过检验模型预测结果的残差值是否符合正态分布。
2、独立性：y值之间相互独立；
一般从收集过程中确定
3、线性：因变量与自变量之间为线性相关；
若线性相关，则预测值与对应的残差值没有关系，随机分布
4、同方差性：因变量的方差不随自变量的水平不同而不同；
若同方差，则预测值与标准化残差值也是随机分布关系。

• 所谓的回归诊断就是对上面四个方面进行检验，方法不少，具体如下

1、基础标准plot(fit)方法

• 还是那个身高预测体重的例子

opar <- par(no.readonly=TRUE)
fit <- lm(weight ~ height, data=women)
par(mfrow=c(2,2))
plot(fit)  #生成评价模型拟合情况的四幅图
par(opar)

plot(fit).png

• 上四图分别进行了四方面的检验：

（1） Normal Q-Q图（右上）--正态性检验：若满足正态假设，那么图上的点应该落在呈45度角的直线上。如图，还是有一部分点离线比较远的，尤其是被标注的点1，点15。
（2）残差图与拟合图（左上）--线性：以预测体重值数据为x值，对应的残差值绘点图，并进行拟合。若满足因变量与自变量线性相关，拟合曲线应贴合水平，点随机均匀分布在两侧。本图为拟合曲线，暗示可能要加上一个二次项
（3）位置尺度图（左下）--同方差性：若满足同方差性（不变方差假设），则点也应在落在线两侧随机分布，本图较符合。
（4）残差杠杆图（右下）--重点观测点：A：离群点：有较高残差的点，一般标准化残差值绝对值大于2的都可能是离群点，对应本图就是纵坐标绝对值大于2的；B：高杠杆值点：异常的观测值的组合，恒量标准为“帽子统计量”=p/n（p为length(coefficients(fit))，n为样本量），大于2倍或者3倍p/n的，可视为高杠杆值点。对于本图，p/n=2/15=0.133，所有点横坐标没有大于0.26的，故没有高杠杆值；C：强影响点：对模型参数评估影响过大的点。对于本图中就是虚线范围内的点（点15与点1）
对于这些低质量点，删除后可能会得到拟合效果更好的模型。但是要谨慎，合理，因为原则上应该是模型去匹配数据，而不是相反。

#对二次项回归拟合作图，观察两组图的区别
opar <- par(no.readonly=TRUE)
fit2 <- lm(weight ~ height + I(height^2), data=women)
par(mfrow=c(2,2))
plot(fit2)   #观察前后四幅图的区别。
par(opar)

plotfit2.png

2、car包诊断方法

• 第一次使用，需要安装，加载；
• 针对每个条件，有不同函数功能专门检验，绘图；

2.1、正态性--qqplot() 学生化残差图

library(car)
states <- as.data.frame(state.x77[,c("Murder", "Illiteracy")])  #分析对象需要是数据框格式
fit <- lm(Murder ~ Illiteracy, data=states)
summary(fit)
qqPlot(fit, labels=row.names(states), id.method="identify",
       simulate=TRUE, main="Q-Q Plot")

• 结果如下图，基本所有点（除了被标注的两个点）都离直线很近，并落在置信区间内，表明正态性假设符合的很好。

  
  
  qqplot.png

补充：此外也可以用residplot() 函数生成残差柱状图更形象地观察。代码如下——

residplot <- function(fit, nbreaks=10) {
        z <- rstudent(fit)
        hist(z, breaks=nbreaks, freq=FALSE,
             xlab="Studentized Residual",
             main="Distribution of Errors")  #绘制残差直方图
        rug(jitter(z), col="brown")       #绘制查查轴须图
        curve(dnorm(x, mean=mean(z), sd=sd(z)),
              add=TRUE, col="blue", lwd=2)     #标准正态分布图
        lines(density(z)$x, density(z)$y,       
              col="red", lwd=2, lty=2)           #残差的核密度图
        legend("topright",               
               legend = c( "Normal Curve", "Kernel Density Curve"),
               lty=1:2, col=c("blue","red"), cex=.7)         #添加标签
}
residplot(fit)  

• 结果如下图，密度曲线较好地与正态分布图贴合在一起，除了尾巴的一小部分。

  
  
  残差直方图.png

2.2、因变量值（或残差）的独立性检验

• 因变量值是否独立，最好的检验方式是依据收集数据方式时确立的；这里car包也提供了一种方法

durbinWatsonTest(fit)

• 返回p值大于0.05，则说明因变量值无自相关性，残差项之间独立；
• 该检验方法适用于时间独立的数据，对于非聚集型的数据不适用（没太理解，存疑）；

2.3、线性检验

crPlots(fit) 

• 该函数对每一个预测变量都会绘制一个成分残差图。若图形存在非线性，表示建模需要进一步改进。

2.4、同方差检验

ncvTest(fit)

• 该函数生成一个计分检验；零假设为误差方差不变，备择假设为误差随着拟合值变化而变化。若检验显著（p>0.05）,则验证了备择假设，即残差方差不恒定。而我们一般是希望p大于0.05

3、综合验证法gvlma()包

library(gvlma)
gvmodel <- gvlma(fit) 
summary(gvmodel)

• 观察p-value值大于0.05，说明满足假设条件，建模成功。若Decision下的文字表明违反了假设条件（p<0.05）,可以使用前几节的专项方法判断哪些假设（哪些点）没有被满足。
• 比如上面那个身高体重的例子，存在p<0.05的点，在单独检查每一项假设后，删除相关点，使得Decision全部合格。

4、异常观测点

• 之前在标准方法里简单介绍了三种异常值的判断方法，下面有一些专门的方法提供判断。

4.1离群点

• 残差过大的点

library(car)
outlierTest(fit)

• 返回结果，若不显著（p>0.05）,即没有离群点；若显著，因为一次检验只能显示一个，若需要将该点删除后，再检验有没有其它的离群点的存在。

4.2高杠杆值

• 一般来说观测点的帽子点的均值大于帽子均值（p/n）的2或3倍，就可认定为高杠杆值点；

hat.plot <- function(fit) {
  p <- length(coefficients(fit))   #参数数目（包括截距项）
  n <- length(fitted(fit))    #样本量
  plot(hatvalues(fit), main="Index Plot of Hat Values")
  abline(h=c(2,3)*p/n, col="red", lty=2)
  identify(1:n, hatvalues(fit), names(hatvalues(fit)))
}
hat.plot(fit)  #实现交互模式进行对重点关注点的标注

hat statistic.png

• 如上图 Louisiana点最异常，高杠杆值点可能是强影响点，也可能不是，要看它们是否是离群点。

4.3、强影响点

• Cook距离或称为D统计量>4/(n-k-1) 则为强影响点。

cutoff <- 4/(nrow(states)-length(fit$coefficients)-2) 
#是减2而不是减1的原因是因为length(fit$coefficients)是预测变量数目加上截距项了，需要减去1
plot(fit, which=4, cook.levels=cutoff)
abline(h=cutoff, lty=2, col="red")
#红线以上的点为强影响点。

Cook距离.png

• 如上图，Neveda点为强影响点，若删除该点会导致回归模型的截距项和斜率发生显著变化。

summary(fit)
fit <- lm(Murder ~ Illiteracy, data=states[-c(28),])
summary(fit)

4.4、异常点综合观察

• 在plot() 函数绘制的四张图的第四张图中，其实就是综合观察图，可能可读性不高，还有另外一种方法。
• car包的influencePlot() 函数

library(car)
influencePlot(fit, id.method="identify", main="Influence Plot", 
              sub="Circle size is proportial to Cook's Distance" )

• 离群点是纵坐标绝对值大于2的点;
• 高杠杆值点是横坐标大于2或3倍的点;
• 圆圈大小正比于影响程度，越大的点就是造成不成比例影响的强影响点。

influencePlot.png

三、建得不好怎么办？--改进&选最好

1、改进措施

1.1、删除观测点（离群点与离群点）

states <- as.data.frame(state.x77[,c("Murder","Illiteracy")])
Num=c(1:50)
state2=cbind(states,Num)
fit <- lm(Murder ~ Illiteracy, data=states[-c(28),]) #删除Nevada观测点
summary(fit)

1.2、变量变换

• 法1：yⁿ代替y，n常见为-2、-1、-0.5、0.5、1、2等，还有log(y);
• 法2：若y是比例数，通常使用logit变换[In(Y/1-Y)];
• 变量变换要谨慎，要能解释出意义。

1.3、增删变量

• 比如直线无法精确拟合，可以增加一个二次项精确拟合。

2选择“最佳”

2.1、比较那个模型（方程）好

• 在前面murder的多元回归时，Income与Frost的Pr(>|t|)值不显著（过大），从而产生这样一个疑问，是否有必要加入这两个变量——

法1：anova()函数
states <- as.data.frame(state.x77[,c("Murder", "Population",
                                     "Illiteracy", "Income", "Frost")])
fit1 <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost,
           data=states)
fit2 <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy, data=states)
anova(fit2, fit1)
#拿模型1嵌套如模型2中，返回p值不显著（>0.05）,提示不需要将这两个变量加入模型中来。

#法2：AIC法
fit1 <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost,
           data=states)
fit2 <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy, data=states)
AIC(fit1,fit2)
#AIC值较小的模型优先选择。

2.2、变量选择

从大量候选变量选择最终的候选预测变量

（1）逐步回归

• 原理：模型每次会一次添加或者删除一个变量，直到达到某个标准；
• 评价标准为AIC值，越小越好；
• 方法有向前（添加）与向后（删除）逐步回归。

states <- as.data.frame(state.x77[,c("Murder", "Population",
                                     "Illiteracy", "Income", "Frost")])
fit <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost,
          data=states)
stepAIC(fit, direction="backward")
#最后一项结果表明保留Population与Illiteracy，质量最优。但因为并不是所有可能都被评价，所以存在争议，下一个方法避免了这一问题。

（2）全子集回归

• 即所有可能的模型都会被检验；
• 通过leaps包的regsubsets()函数实现

library(leaps)
states <- as.data.frame(state.x77[,c("Murder", "Population",
                                     "Illiteracy", "Income", "Frost")])
leaps <-regsubsets(Murder ~ Population + Illiteracy + Income +
                     Frost, data=states, nbest=4)
plot(leaps, scale="adjr2")

regsubsets.png

• 如上图结果表明，最高一行所包含的变量数目为最佳模型

四、深层次分析

1、k重交叉验证（训练集与验证集）-- 评价拟合能力

• 将一定比例的数据挑选出来作为训练样本，其它的样本作为验证集；先在训练样本上获取回归方程，然后在验证集预测、比较
• 所谓k重，就是原样本分为k个子样本，轮流将k-1子样本组合作为训练集，剩余1个子样本作为验证集；这样就会获得k个预测方程，预测求平均，得出模型预测效果。
  首先定义一个函数，主要用到bootstrap包的crossval函数

shrinkage <- function(fit,k=10){
  require(bootstrap)
  
  # define functions 
  theta.fit <- function(x,y){lsfit(x,y)}
  theta.predict <- function(fit,x){cbind(1,x)%*%fit$coef} 
  
  # matrix of predictors
  x <- fit$model[,2:ncol(fit$model)]
  # vector of predicted values
  y <- fit$model[,1]
  
  results <- crossval(x,y,theta.fit,theta.predict,ngroup=k)
  r2 <- cor(y, fit$fitted.values)**2 # raw R2 
  r2cv <- cor(y,results$cv.fit)**2 # cross-validated R2
  cat("Original R-square =", r2, "\n")
  cat(k, "Fold Cross-Validated R-square =", r2cv, "\n")
  cat("Change =", r2-r2cv, "\n")
}

然后用于评价模型

states <- as.data.frame(state.x77[,c("Murder", "Population",
                                     "Illiteracy", "Income", "Frost")])
fit <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost,
          data=states)
shrinkage(fit)

如下图返回信息包括：
（1）模型原始R2值
（2）经过k重验证的R2值
（3）上述两者的差值
一般来说，经过k重验证的R2值低于原始模型值，因为k重验证更公平、合理。当R2差值越低，即经过k重验证的R2值略低于原始值时，原始模型越准确。因此是一个评价模型的方法。

shrinkage(fit)

fit2 <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy ,
          data=states)
shrinkage(fit2)
#如图，仅降低0.04

shrinkage(fit2)

2、评价预测变量相对重要性

由于可能存在交互关系，不能直接根据建模回归系数评价。其实方法有很多，最简单的是比较标准化的回归系数。
简单来说将原始数据标准化（mean=0，sd=1），再进行R回归，此时根据得到的回归系数大小，即可评价预测变量的重要性。越大越重要。

states <- as.data.frame(state.x77[,c("Murder", "Population",
                                     "Illiteracy", "Income", "Frost")])
zstates <- as.data.frame(scale(states))
fit <- lm(Murder ~ Population + Illiteracy + Income + Frost,
           data=zstates)
coef(fit)

如下图，可认为Illiteracy为最重要的预测变量。

coef(fit)

综上是一些关于回归的R操作知识，由于相关的统计原理不是太了解，仅记录了操作。如有错误，敬请指正。教材参考自《R语言实战（第二版）》